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1、 1 1 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.(20xx重庆高考文科T9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( )(A) (B) (C) (D)【思路点拨】先设出双曲线的标准方程,写出左准线的方程和渐近线的方程,根据左焦点与圆的位置关系求解离心率的取值范围.【精讲精析】选B.设双曲线的方程为,则左准线的方程为,渐近线方程为,故可求得,所以,以为直径的圆的方程为,因为左焦点在圆内,所以,即,根据化简得, 即解得,又因为双曲线的离心率,所以.二、填空题2.(20xx重庆高考理科T15)设圆位于抛物线与直线所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆的半
2、径能取到的最大值为 .【思路点拨】当圆和抛物线及直线都相切时半径最大,此时圆心位于轴上.【精讲精析】当圆的半径最大时,设圆心坐标为,则半径为,其中，圆的方程为,联立消去得, ,整理得，因为圆与抛物线相切,所以,解之得，又因为,所以,半径为.【答案】三、解答题3.（20xx湖北高考理科T20）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线.（1）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；（2）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点.试问：在上，是否存在点，使得的面积.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）设M（
3、x,y）,利用可得的方程为，再根据与0，-1的大小分类讨论；（2）设,由N在C1上可得，再由可将用表示，由此可求点N存在时，的取值范围，设，又 先求出后，即可求出【精讲精析】(1)可设动点为M，其坐标为(x，y)，当时，由条件可得即又、的坐标满足故依题意，曲线C的方程为.当时，曲线C的方程为C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线.由知，当时，C1的方程为.当时，C2的两个焦点分别为对于给定的， C1上存在点N使得的充要条件是由得，由得，当，即或时，存在点N，使；当，即或时，不存在
4、满足条件的点N.当时，由，来源:Z.xx.k.Com可得令，则由可得从而于是由，可得即综上：当时，在C1上，存在点N，使得，且当时，在C1上，存在点N，使得，且当时，在C1上，不存在满足条件的点N.4.（20xx全国高考理科21）已知为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足(1)证明：点P在C上；(2)设点P关于点的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【思路点拨】(1) 联立方程利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标,代
5、入椭圆方程验证即可证明点P在C上.(2)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互为相反数即可，在求正切值时要注意利用到角公式.思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.【精讲精析】 (1)设直线与联立得解得由得,所以点P在C上.（2）方法一：同理所以互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上.方法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为由得、的交点为,故，所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.5.（20xx四川高考理科
6、21）椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点.直线AC与直线BD交于点.（）当=时，求直线的方程；()当点P异于A、B两点时，求证: 为定值.【思路点拨】（）先求出椭圆的标准方程，因为直线过定点(0,1)，故只需利用弦长公式求出斜率即可.()直线过定点(0,1)，但斜率不确定，故点的坐标随直线斜率的变化而变化.所以可用直线的斜率表示点.若设的方程为则要证为定值，只需用表示点的横坐标.通过联立直线AC,BD的方程求点的横坐标.【精讲精析】（）因椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为 由已知得，.则椭圆方程为.直线垂直于轴时与题意不符
7、.设的方程为.由消去得， .来源:Zxxk.Com 则，. ， 由解得.的方程为或.() 直线垂直于轴时与题意不符. 设的方程为点的坐标为 设，由（）知，直线的方程为，直线的方程为，将两直线方程联立，消去得.，与异号.与异号，与同号.解得.点的坐标为.来源:学科网ZXXK故为定值.6.（20xx四川高考文科21）过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点A（）、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.来源:学|科|网（1）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；（2）当点P异于点B时，求证：为定值.【思路点拨】（1）先求出椭圆的标准方程，已知点,椭圆右焦点为，故直线的方程为，代入椭
8、圆方程，可求出点的坐标，利用两点间距离公式求线段即可. (2)直线过定点，但斜率不确定，故点的坐标随直线斜率的变化而变化.所以可用直线的斜率表示点.若设的方程为则要证为定值，只需用表示点的坐标.通过联立直线AC,BD的方程求点的坐标.【精讲精析】（1） 由已知得，解得.则椭圆方程为.椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程化简得.来源:Z+xx+k.Com解得代入直线方程得点的坐标为.故(2)当直线垂直于轴时与题意不符. 设的方程为 代入椭圆方程化简得.解得点的坐标为.又直线的方程为，直线的方程为，联立得点的坐标为.又因为故为定值.7.(20xx重庆高考理科T20) 如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.()求该椭圆的标准方程；() 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.【思路点拨】由椭圆的离心率及准线的定义可求出的值,然后由可求出的值,从而得出椭圆的标准方程.直接设出的坐标,根据题目中的条件列出等式求解.【精讲精析】()由解得故椭圆的标准方程为.()设,则由得即因为点在椭圆上,所以,，故设分别为直线的斜率,由题设条件知,因此，所以.所以点是椭圆上的点.设该椭圆的左,右焦点为,则由椭圆的定义为定值,又因,因此两焦点的坐标为即存在满足条件的两点. 关闭Word文档返回原板块。
