单位“1”的使用与工程问题

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1、单位“1”的使用与工程问题适用学科数学。适用年级小六教师姓名适用区域课时时长（分钟）120学生姓名知识点1解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1” 找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。2.工程应用题的工作，一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工作看作单位“1”， 再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率，再根据关系式进 行解答。教学目标1进一步提高分析问题和解决问题的能力。把分数应用题中的不冋单位“1”进行转化。2.掌握工程问题的基本数量关系式。教学重点1解答较复杂的分数应用题时，会把题中不冋的单位”1

2、”根据实际问题转化统一的单 位“1”再解答。2.工程问题中，工作效率隐藏在条件中，及循环周期工程问题的解题方法。教学难点工程应用题的工作，一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工作看作单位“1” , 再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率，再根据关系式进 行解答。教学过程一、复习预习今天我们主要讲解分数问题中转化单位”1”的问题，通过学习懂得把不同的数量当做单位”1”，得到的分率可 以在一定的条件下转化。另外我们还要学习工程问题中的一些解题方法。二、知识讲解理论点1:如果甲是乙的-，乙是丙的-，则甲是丙的竺。b d bd理论点2:工作量二工作效率x工作时间，工作时间二工作量

3、一工作效率，工作效率二工作量一工作时间。三、例题精析【例题 1】单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？【解析】以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效寧是讣同理，乙队的工作效率是吕两队合干的工作数率是诘5 +需汹 由“工作量=工作皴率x工作时间s冗天的工作量是+100ijox5O=l + l剩下的工作量是（1- 由工作时间=工作量k工作效率一剩下的工6作量由乙队干还需=25 匸天 【例题2】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。 如果甲、乙合做

4、，那么多少天可以完成？【答案】13-天3【解析】分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图： 甲日夭二仝夭二1：注- 一乙仝口二吕从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于 是可用乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）完成，即乙的工作效率为占。又因为乙工作4天的工作量和甲工作亍天的工作量相等，所以甲的工作奴率是乙的? 为护卜去甲、乙合做这一工程，需用的时间为1 1【例题3】小明看一本故事书，第一天看了全书的I2还少5页，第二天看了全书的I5

5、还多3页，还剩206页。这 本故事书一共有多少页?【解析】分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位勺J如果第一天多看T页，那么正好看了全书的土；如杲第二天少看3贡，J. -1那么正奸看了全书的右此时应当剩（206-5 + 3）页，其对应的分率为（讣卡由此可求出全书的贝数。11it幕；|206 -5 + 3-（1-） = 204 - = 240 p, 1 1 1【例题4】一本文艺书，小明第一天看来全书的2,第二天看了余下的3,第三天看了再余下的5,还剩下80页。 这本书共有多少页？【解析】本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、第一天看后余下的页数、“第二天

6、看后 余下的页数，出现了 3个不同的单位“ 1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统 一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，那第天詢吓谆糊二天希W谍邸（1存讣 肺臍二瑯和鞭看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的1 I I 1244门-Yx：.H - Yx fl - - = X x =2-3 5J 23515也就是说，乘汴的昵页对应的分率是L 所以全书有so - - = 3p.a倾禺。四、课堂运用【基础】1.某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退 出转做新的工程，那么乙队又做了 18天才完成任务。

7、问：甲队干了多少天？【解析】将题目的条件倒过来想，变为乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？ ”这样一来，问题 就简单多了。存廻戈213=（1 一亏）十两=牙汽;20 = 12天）。答：甲队干了 12天。2.单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤 走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？【解析】乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作【巩固】1蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10,12,15时。上午8点三 个管同时打开，中

8、间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？【解析】上午9时。提示：甲訐了1-存勻讣詁时八2.甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东 西而返回出发点，取东西又耽误了 5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？【解析】这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。 甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下： 完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应 该用工

9、程问题的解法来解答。網仍存存倉=1.5（分答：甲再出发后15分钟两人相遇。【拔高】1. 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。 如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？【解析】分折与解以满池水为单位1。1时放水管可使水增加，排水管可使水 减少同时开1时，可使水増加- 放水管打幵1时后，池內己经有壬 的水、与半池水还差- 1）,所以要达到半池水，还需1 hk _ -312 弓5 7 10 35 _42.甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙

10、。若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用1天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则比原计划多用123天。已知甲单独做完这件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一起做这件工作，要用多少天才能完成？【解析】把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。甲乙丙丙甲乙乙丙甲甲乙丙m甲丙甲乙乙丙甲！乙由最后一轮完成的工作量相同，得到甲+乙=乙+丙+ 甲，乙十丙+甲=丙十甲+首乙Q1g由制；丙二礼由1式制：乙甲甲、乙丙三人合.微-天等于甲做1+斗岭（天），推知三人合做

11、軌课堂小结这一节课我们学习了分析单位“1”和工程问题，解决分数应用题的关键是找准”量“与“率”对立关系。对于 题中的单位“1”是变化的，我们可通过题中的不变量看作单位“1”，通过把化统一单位” 1 “然后寻找量与率关系 解题。工程问题常常把工作量看作单位” 1”，再根据基本关系解题。课后作业【基础】1、某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小 队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四 的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工 程由哪个队最后完成？【解析】与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是1 1 17+ - +=

12、四个小队各干了&天即24天后，还剩下工程量的.o 1U 1JA-o71又因为一、二、三小陵合干需呂天，即一、二、三小队各干4oo1天完成工程量的I 所以工程由三小队最后完成。O2. 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后甲队做却天，共完成这项工程的半，如果把其亲的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成？【解析】题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作I们把“乙先做7天，甲再做4天的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独做?天； 这样，就可以把合作飾工作效率丄用上了。19甲、乙两队合作4天完成的工程量是+淤4二,乙再做3天就可完成工6513- 程量的三，由此求岀乙

13、的工作效率为（兰一今（7_4）=丄v15315剩下的工程乙队还需干天）：。【巩固】3、单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？【解析】乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的2仮因牌躺,乙胡绑+2（天）,馭甲需斷（討=（，乙需要10+5 = 15（天）。甲、乙合作需要4、放满一个水池的水，若同时打开1,2,3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2 ,3,4号阀门，则21分钟

14、可以完成；若同时打开1,3,4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1,2,4号阀门，则30分钟可以 完成。问：如果同时打开1,2,3,4号阀门，那么多少分钟可以完成？【解析】同时打开1,2,3号阀门1分钟，再同时打开2,3,4号阀门1分钟，再同时打开1,3,4号阀门1分钟，再同时打开1,2,4号阀门1分钟，这时，1,2,3,4号阀门各打开了 3分钟，放水量等于一池水的护召*存和 所以同时打开1，匕 八号阀门，放满TfeK需1 *+ + + !-） * 3-2Q2125307=1-3） = 1- = 18 匸分）o：【拔高】5、一项工程，乙单独干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天 数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需 要几天？【解析】解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见 左下图）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲 乙甲乙甲乙甲 乙甲现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。6、某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元某日通过该收费站的