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1、数列知识点及常用解题方法归纳总结等差数列的定义与性质定义：aniand（d为常数），a.ain1d等差中项：x，A，y成等差数列2Axyaiannnn1前n项和Sn-najd22性质：an是等差数列（1）若m-pq,贝Uamanapaq；（2）数列a2n-,a2n,kanb仍为等差数列;Sn,S2nSn,S3nS2nSn,S2nSn,S3nS2n仍为等差数列;（3）若三个数成等差数列，可设为ad,a,ad；（4）若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和，则（4）若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和，则ambmS2m1T2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a,b为常数，是关于n的常
2、数项为0的二次函数）Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，即：当a10,d0,解不等式组an可得Sn达到最大值时的n值。an10an0心一一一当a10,d0,由可得Sn达到最小值时的n值。an10如：等差数列an,Sn18,anan1an23,S31,则-（由anan1an233an13,an11a1a31又S333a21，二a2一23.ua1ann-Sna?a.1n211n32二、等比数列的定义与性质定义：加q（q为常数，q0)anan等比中项:G、y成等比数列G2xy，或Gxy前n项和：Sng(q1)1qn(q1)qa1-1（要注意!）性质:an是等比数
3、列(1)npq.则amanapaq(2)Sn,S2nSn,S3nS2n仍为等比数列、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、由Sn求an；（n1时，a1Si，2时，anSnSn3、求差（商）法如:解:、卄1an满足一a12n1时，a1211a12a2222时,练习数列an（注意到又S14122a25,2得：2an满足SnSnSn15an3n2时，an二a114a1an12nSn代入得:Sn2n4,1Sn_Sn是等比数列，Sn41)1214(n1)2n1(n2)SnSn1求an4、叠乘法例如：数列an中，a13,an1ann，求ann1”Fa2a3an12n1.an1解：一-_aa2an123na
4、1n又a13，an3n5、等差型递推公式由anan1f(n)，a1ao,求an，用迭加法n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加,得：anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)-anaof(2)f(3)f(n)练习数列an,ai1,an3n1an1n2，求an1(an丄3n1)26、等比型递推公式ancan1dc、d为常数，c0,c1,d0可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd,.xc1ddan是首项为a1,c为公比的等比数列c1c1ddn1ana1cc1c1d-n1dcc1cana11练习数列an满足ai9,3anian4，求a.(an1)7、倒
5、数法例如：ai例如：ai1,2an2an求an,由已知得:an22ananan1anan为等差数列,1,a1公差为-an丄1an三、求数列前n项和的常用方法1、公式法:等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：n1an是公差为d的等差数列，求k1akak1和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。解：由一ak1ak111d1ak1ak-d01akakdn1n111k1akak1k1dakak11111111da1a2a2a3anan1111da1an1练习求和:111112123123n(an5Sn21)n13、错位相减法:右an为等差
6、数列，bn为等比数列,求数列anbn（差比数列）前n项如:Sn2x3x24x3nxSn2八3x2x3x4x41nnx1xSnx2xn1nxn1时,Snn1x21xnnxrx1时,Sn4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。Sna1Snana2an1a2an相加a12Snana2an1a1an练习已知f（x）已知f（x）x21x2则f(1)f(2)f(3)ff(4)f(由f(x)f(由f(x)f2x2x原式f(1)原式f(1)f(2)f(3)1f(4)f；31)2例1设an是等差数列，若a2=3,a7=13,则数列an前8项的和为（A.128B.80C.64D.56（福建卷
7、第3题）略解：a2+a7=a1+a8=16,an前8项的和为64,故应选C.例2已知等比数列an满足a1a23,a2a36，则a?（）A.64B.81C.128D.243（全国I卷第7题）答案：A.例3已知等差数列an中，a26,a515，若bna?n，则数列bn的前5项和等于（A.30B.45C.90D.186（北京卷第7题）略解：ta5-a2=3d=9,d=3,b1=a26,b5：-a1o-3O,bn的前5项和等于90,故答案是C.例4记等差数列的前n项和为Sn,若S24,S420,则该数列的公差d()A.2B.3C.6D.7(广东卷第4题）略解：S4S2S24d12,d3,故选B.例5在
8、数列an中，an4n59，a1a2Lanan2bn,*nN，其中a,b为常数，则ab.（安徽卷第15题）答案：1.例6在数列an中，a12,an1anln(1丄),n则an()A.2InnB.2(n1)lnnC.2nlnnD.1nInn（江西卷第5题）答案：A.例7设数列an中，a12,an1anIn1，则通项an（四川卷第16题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住an,ann1中务i,an系数相同是找到方法的突破口.略解：a12,an1ann1anan1n11,an1a.2n21,an2an3n31,K,a3a221,a2a111,a1211.将以上各式相n1nnn1加,得a
9、nn1n2n3L21n1n11,故22应填nl+1.21例8若（x+丄）n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为（）2xA.6B.7C.8D.9（重庆卷第10题）答案：B.使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，女口，例4以前的例题.例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第
10、4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国H卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习.例9已知an是正数组成的数列,ai=1，且点(.an,an1)(nN*)在函数y=x2+i的图象上（I）求数列an的通项公式；（n）若数列bn满足bl=1,bn+1=bn+2an，求证:bnbn+2Vb2n+1.(福建卷第20题)略解：(I)由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(ni-1)x1=n.(n)由(I)知，an=n,从而bn+1-bn=2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n
11、-2+2+1=2n-1.V.bnbn+2-bn1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2nV0,-bnbn+2Vbn1.对于第（n）小题，我们也可以作如下的证明:b2=1,bnbn+2-b；1=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b；1=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+1=2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n(bn-2n)=2n(b2)=-2n0,.bn-bn+2b2n+1.例10在数列an中，a11,an12an2n.(I)设bnan尹.证明：数列tn是等差数列;（n）求数列an的前n项和Sn.（全国I卷第19题）略解：（I)bn1bn=annan=an1厂2纽=知1,则bn为等差数列，bibnn,ann2n1Sn1C202g21L(nn2n11)c2ng12Sn1g22g22(nn1n1)g2ngSnng2n1c20212n1ng2n2n1=(n1)2n对于例10第（I）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等,即差是个常数.以用迭代法,但不可由b2-b1=1,b3-b2=1等有限个的验证归纳得到bn为等差数列的结论,犯“以偏盖全”的错误第（n）小题的“等比差数
