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1、第四节合情推理与演绎推理 高频考点考点一 归 纳 推 理1归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题2高考对归纳推理的考查常有以下几个命题角度：(1)归纳推理与等式或不等式“共舞”问题；(2)归纳推理与数列“牵手”问题；(3)归纳推理与图形变化“相融”问题例1(1)(2013陕西高考)观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_(2)(2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形
2、数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.(3)(2014青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到n级分形图 一级分形图 二级分形图三级分形图n级分形图中共有_条线段；n级分形图中所有线段长度之和为_自主解答(1)观察规律可知，第n个式子为12223242(1)n1n
3、2(1)n1.(2)N(n，k)akn2bkn(k3)，其中数列ak是以为首项，为公差的等差数列；数列bk是以为首项，为公差的等差数列所以N(n,24)11n210n，当n10时，N(10，24)1110210101 000.(3)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3(323)条线段，二级分形图有9(3223)条线段，三级分形图中有21(3233)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an(32n3)(nN*)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn3n1(nN*)，n级分形图中所有线段长度之和为Sn30313
4、n1399n.答案(1)12223242(1)n1n2(1)n1(2)1 000(3)32n399n归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式“共舞”问题观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律(2)与数列“牵手”问题先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论(3)与图形变化“相融”问题合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性1设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上
5、事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n1，故fn(x)f(fn1(x).答案：2(2014温州模拟)如图的倒三角形数阵满足：第1行的n个数，分别是1,3,5，2n1；从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；数阵共有n行当n2 012时，第32行的第17个数是_解析：每行的第1个数分别是1,4,12,32，记为数列an，它的通项公式为ann2n1，则第32行的第1个数为a32322321236，而在第32行的各个数成等差数列，且公
6、差为232，所以第17个数是236(171)232236242322236237.答案：2373仔细观察下面和的排列规律： ，若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_解析：进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.答案：14考点二类 比 推 理 例2如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则1h12h23h34h4.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三
7、棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若k，则H12H23H34H4值为() A. B. C. D. 自主解答在平面凸四边形中，连接P点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S(a1h1a2h2a3h3a4h4)(kh12kh23kh34kh4)(h12h23h34h4)所以h12h23h34h4.类似地，连接Q点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有V(S1H1S2H2S3H3S4H4)(kH12kH23kH34kH4)(H12H23H34H4)，所以H12H23H34H4.答案B【方法规律】类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一
8、致性(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.解析：法一：设数列an的公差为d1，则d1.所以amnamnd1an.类比推导方法可知：设数列bn的公比为q，由bnbmqnm，可知dcqnm，所以q，所以bmnbmqnc.法二：(直接类比)设数列an的公差为d1，数列bn的公比为q，因为等差数列中ana1(n1)d1，等比数列中bnb1qn1，因为amn，所以bmn.答案
9、：考点三演 绎 推 理 例3已知函数f(x)bx，其中a0，b0，x(0，)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性自主解答设0x1x2，则f(x1)f(x2)(x2x1).当0x10，b0，x2x10,0x1x2b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在上是减函数；当x2x1 0时，x2x10，x1x2，b，f(x1)f(x2)0，即f(x1)x2，f(x1)f(x2).x1x2，2x12x20，即2x12x20.又2x110,2x210，0.f(x1)f(x2)f(x)在R上为单调递增函数课堂归纳通法领悟1个区别合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特
10、殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确2个步骤归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：(2)类比推理的一般步骤：3个注意点应用合情推理与演绎推理应注意的问题(1)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误(2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性
