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1、控制理论作业二答案第三章 3-1 已知二阶系统闭环传递函数为 GB=36 。 2s+9s+36试求单位阶跃响应的tr , tm ,% , ts的数值？ 解：题意分析这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比，求出wn参数，而后把wn代入性能指标公式中求出tr，tm，d%，ts和N的数值。 wn=36=6(弧度/秒) z=92wn2=0.75=0.6621-zwd=wn1-zq=tg-1=3.97 上升时间 tr tr= 峰值时间tm tm=p-q3.14-0.72=0.61秒 wd3.97p3.14=0.79秒 wd3.9744=0.
2、89秒(2%) 0.7563=0.70秒(5%) 0.756 过度过程时间ts ts=zwn3= ts= 超调量 zwn-=zp1-z2 d%=e 100%=e-0.75p0.66100%=2.8% 3-2 设单位反馈系统的开环传递函数为 GK(s)=1s(s+1)试求系统的性能指标，峰值时间，超调量和调节时间。 解：题意分析这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(z,wn)的对应关系，然后确定用哪一组公式去求性能指标。 根据题目给出条件可知闭环传递函数为 GB(s)=Y(s)1 =2X(s)s+s+12wn2与二阶系统传递函数
3、标准形式2相比较可得w=1,2zwn=1，即n2s+2zwns+wnwn=1,z=0.5。由此可知，系统为欠阻尼状态。 故，单位阶跃响应的性能指标为 tm=pwn1-z-pz1-z22=3.63秒d%=ets(2%)=ts(5%)=100%=16.4%=4=8秒0.513=6秒0.514zwn3zwn3-3 如图1所示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量d%=25%，峰值时间tm=0.5秒，试确定K和的值。 X(s) Y(s) ks(s+1)ts+1 图1 解：题意分析这是一道由性能指标反求参数的题目，关键是找出：K,与z,wn的关系；d%,tm与z,wn的关系；通过z,wn把d%,tm与
4、K,联系起来。 由系统结构图可得闭环传递函数为 GB(s)=Y(s)KK=2 X(s)s(s+1)+K(ts+1)s+(1+Kt)s+K与二阶系统传递函数标准形式相比较，可得 2 wn=K;2zwn=1+Kt或t=2zwn-12wn由题目给定： d%=e-pz-pz1-z2100%=25% 即 e两边取自然对数可得 -pz1-z2=0.25 1-z2=ln0.25=-1.3863 z=1.3863p+1.386322=0.4 依据给定的峰值时间： tm=pwn1-zp0.51-z22=0.5 所以 wn=故可得 =6.85 2 K=wn=46.9547 0.1 3-4 已知系统的结构图如图2所
5、示，若x(t)=21(t) 时，试求： (1) 当=0时，系统的tr , tm , ts的值。 (2) 当0时，若使=20%，应为多大。 0.5X(s) Y(s) 100 s(s+2) ts 图2 解：题意分析这是一道二阶系统综合练习题。(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时，求性能指标。关键是求出 wn,z,q。(2)的求法与例433相似。 (1) 由结构图可知闭环传递函数为 GB(s)=Y(s)50=2 X(s)s+2s+50可得 wn=50=7.07(弧度/秒) z=由于X(s)=22wn=0.14;q=tg-11-z2z=81.95=1.43弧度 2 输出的拉氏变换为 s2w2n Y(s
6、)=2 s+2zwn+w2n则拉氏反变换为 e-zwnty(t)=21-sin(wdt+q)21-z=21-1.01e-0.995sin(7t+81.95)-z1-z2d%=e tr=100%=e2-0.440.99100%=64%p-qwn1-zpwn1-z32=3.14-1.43=0.24秒7.070.99tm=ts=ts=3.14=0.45秒7.070.99zwn4=3=2.78秒(5%)0.147.074=3.71秒(2%)0.147.07zwn(2) 当0时，闭环传递函数 GB(s)=Y(s)50 =2X(s)s+(2+0.5t)s+50wn=50=7.07(弧度/秒) 2wnz=2
7、+0.5t-得t=zp22(zwn-1)0.5由 d%=e-1-z100%=20% zp1-z2e=0.2 两边取自然对数 -zp1-z2=ln0.2=-1.61， 可得 z=1.611.61+p22=0.46 故 t= ts=2(0.467.07-1)=8.73 o.53zwn=3=0.92秒(2%) 0.467.073-5 (1) 什么叫时间响应 答：系统在外加作用的激励下，其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。 (2) 时间响应由哪几部份组成？各部份的定义是什么？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应是系统受到外加作用后，系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或
8、者动态响应或称过渡过程。稳态响应是系统受到外加作用后，时间趋于无穷大时，系统的输出状态或称稳态。 (3) 系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能？ 答：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应反映系统的稳定性，相对稳定性及响应的快速性；稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。 (4) 时域瞬态响应性能指标有哪些？它们反映系统哪些方面的性能？ 答：延迟时间td；上升时间tr；峰值时间tm；调节时间ts；最大超调量d%.td,tr,tm,ts反映系统的快速性，即灵敏度，d%反映系统的相对稳定性。 3-6设系统的特征方程式为 s+6s+12s+11s+6=0 试判别系统的稳定性。 解
9、：特征方程符号相同，又不缺项，故满足稳定的必要条件。列劳斯表判别。 432s41s36 s2121136060(同乘6) (同乘61)s1s06145536由于第一列各数均为正数，故系统稳定。也可将特征方程式因式分解为 (s+2)(s+3)(s+s+1)=0 2根s1=-2, 13s2=-3,s3,4=-j均有负实部，系统稳定。 223-7设系统的特征方程式为 s+2s+s+2=0 解：列劳斯表 32s3s2 1ss01212e2将特征方程式因式分解为 (s2+1)(s+2)=0 根为 s1,2=j1,s3=-2 系统等幅振荡，所以系统临界稳定。 3-8 单位反馈系统的开环传递函数为 Gk(s
10、)=Ks(0.1s+1)(0.25s+1)试求k的稳定范围。 解：系统的闭环特征方程： 列劳斯表 s(0.1s+1)(0.25s+1)+K=00.025s+0.35s+s+K=032s3s2s1s00.0250.350.35-0.02KKK1K系统稳定的充分必要条件 K0 0.35-0.025K0 得 K14 所以保证系统稳定，K的取值范围为0K14。 3-9 (1) 系统的稳定性定义是什么？ 答：系统受到外界扰动作用后，其输出偏离平衡状态，当扰动消失后，经过足够长的时间，若系统又恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，反之系统不 稳定。 (2) 系统稳定的充分和必要条件是什么？ 答：系统的全部特征
11、根都具有负实部，或系统传递函数的全部极点均位于S平面的左半部。 (3) 误差及稳态误差的定义是什么？ 答：输出端定义误差e(t)：希望输出与实际输出之差。输入端定义误差e(t)；输入与主反馈信号之差。稳态误差，误差函数e(t)，当t时的误差值称为稳态误差,即 3-10已知单位反馈随动系统如图3所示。若K=16，T=0.25s。试求： 典型二阶系统的特征参数z和wn； 暂态特性指标欲使Mp0和ts(50)； Mp=1600，当T不变时，K应取何值。 R(s)Ks(Ts+1)C(s)图3随动系统结构图 解： 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为 KK/T=Ts2+s+Ks2+1s+KTT 与典型
12、二阶系统的传递函数比较 (s)=(s)=wn2s2+2zwns+wn 2得 wn=K1,z=T2KT 已知K、T值，由上式可得 wn=K=T161=8(rad/s),z=0.250.252KT -zp1-z2-0.25p1-0.252于是，可 Mp%=e100%=e100%=47%ts3zwn=3=1.5s(D=5%)0.258为使Mp=1600，由公式可求得z=0.5，即应使z由0.25增大到0.5，此时 11=44Tz40.250.25 即K值应减小4倍。 K3-11控制系统框图如图4所示。要求系统单位阶跃响应的超调量Mp=9.5%，且峰值时间tp=0.5s。试确定K1与t的值，并计算在此情况下系统上升时间tr和调整时间ts(200)。 R(s)K10C(s)1s(0.5s+1)ts 图4 控制系统框图
