《2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题（解析版）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题一、单选题1“三个实数成等差数列”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“2ba+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2ba+c”的充分条件；若“2ba+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2ba+c”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2ba+c”的充要条件，故选：C【点睛】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键2设，若复数是纯虚数，则点
2、一定满足（ ）ABCD【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解【详解】由是纯虚数，得x0，y故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3若展开，则展开式中的系数等于（ ）A在中所有任取两个不同的数的乘积之和B在中所有任取三个不同的数的乘积之和C在中所有任取四个不同的数的乘积之和D以上结论都不对【答案】A【解析】直接利用二项式展开式的应用求出结果【详解】展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数可以看成三个因式取a，其余的两个因式是从的5个数中任意取两个不同的数进行乘积，再作和故选：A【
3、点睛】本题考查的知识要点：二项式定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型4某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（ ）A265米B279米C292米D306米【答案】C【解析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度【详解】如图所示，ABC中，AB1000，ACB21+3960，ABC903951；由正弦定理得，所以AC；RtACD中，CAD18，所以CDACtan18tan180.3249292（米）；
4、所以该塔的高度约为292米故选：C【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题二、填空题5计算_.【答案】1【解析】利用极限的定义及运算法则直接得出【详解】因为，所以1.故答案为：1.【点睛】本题考查了极限的定义及极限的运算法则，属于基础题6在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_.【答案】【解析】由弧长公式即可算出结果【详解】由弧长公式l|r1，故答案为：【点睛】本题主要考查了弧长公式，是基础题7若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_.【答案】【解析】直接利用角的运算的应用求出结果【详解】直线l1和l2的倾斜角分别为32和152，所以直线l1和l2的夹角为180（1
5、5232）60故答案为：60【点睛】本题考查的知识要点：直线的倾斜角及夹角的定义，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_.【答案】【解析】根据题意，分析可得直线l的方向向量为（1，k），进而分析可得2+k0，解可得k的值，即可得答案【详解】根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为（1，k），若直线l的一个法向量为（2，1），则有2+k0，解可得k2；故答案为：2【点睛】本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题9设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_个.【答案】【解
6、析】根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案【详解】根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个；故答案为：128【点睛】本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题10设是等腰直角三角形，斜边,现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_.【答案】【解析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积【详解】等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；所以几何体的体积为V212故答案为：
7、【点睛】本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题11如图，在平行四边形中，,则的值为_.【答案】【解析】根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB2，AD1即可求出的值【详解】AB2，AD1， 143故答案为：3【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题12三倍角的正切公式为_.【答案】.【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果【详解】tan3tan（+2）故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13设集合共有6个元素，用
8、这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为_.【答案】2880【解析】利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可【详解】因为集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，6个元素的全排列有种，而组成的矩阵又有四种类型，所以矩阵的个数为2880故答案为：2880【点睛】本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键14现将函数的反函数定义为正反割函数，记为：.则_.（请保留两位小数）【答案】1.82【解析】直接利用反三角函数计算三角函数的值【详解】ysecx，x（0，），当y4时，cosx，xarccos，由查表得
9、arccos1.318x1.3181.82故答案为：1.82【点睛】本题考查反三角函数的运用，属基础题15设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为_.【答案】【解析】利用已知条件PF1PF2，点P到坐标原点O的距离为c，转化求解c的最小值即可【详解】双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到坐标原点O的距离为c，所以c，当且仅当a时，取得最小值：故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题16设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为_.【答
10、案】（）rMr【解析】利用指数式与对数式的互化即可算出结果【详解】设logaMrb，abMr，rlogaMb，logaM，（）r（）rabMr，故答案为：（）rMr【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，是基础题三、解答题17如图，在正六棱锥中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为.（1）求该六棱锥的体积；（2）求证：【答案】（1）12；（2）证明见解析.【解析】（1）连结AD，过P作PO底面ABCD，交AD于点O，则PA2AO4，由此能求出该六棱锥的体积（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，推导出ADCE，PGCE，从而CE平面PAD，由此能证明PACE【详解】在正六棱锥PABCDEF中，
11、底边长为2，侧棱与底面所成角为60连结AD，过P作PO底面ABCD，交AD于点O，则AODO2，PAO60，PA2AO4，PO2，SABCDEF6（）6，该六棱锥的体积V12（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，DECD，AEAD，ADCE，O是CE中点，PAPC，PGCE，PGADG，CE平面PAD，PA平面PAD，PACE【点睛】本题考查六棱锥的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个
12、最大矩形的面积.（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.【答案】（1），面积最大为1（2），面积最大值为2【解析】（1）通过设出BOC，进而用表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函数即可求解；（2）通过设出点C的坐标（m，n），进而表示出OBm，BCn，S2mn；再利用点C为椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可；【详解】（1）设BOC，（）；OBcos，BCsin；S2OBBC，S2sincossin2；当时，即OA时，矩形面积最大为1；（2）依题意可得：椭圆方程为：；设：点C坐标为（m，n）即：O
13、Bm，BCn；S2OBBC2mn；点C为椭圆上的点；mn1，当且仅当时取等号；S2；即矩形面积最大为2；当OB，即时取等号；【点睛】本题考查了基本不等式的运用，考查了学生的发散性思维，属于中档题19设是等差数列，公差为，前项和为.（1）设，求的最大值.（2）设，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）2020（2）【解析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列bn为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d0，d0，d0，判断数列bn的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围【详解】（1）a140，a638，可得d，可得Sn40nn（n1）（n）2，由n为正整数，可得n100或101时，Sn取得最大值2020；（2）设，数列bn的前n项和为Tn，可得an1+（n1）d，数列bn为首项为2，公比为2d的等比数列，若d0，可得bn2；d0，可得bn为递增数列，无最大值；当d0时，Tn，对任意的nN，都有Tn20，可得20，且d0，解得d【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数
