《新编新课标高三数学一轮复习 第7篇 空间向量在立体几何中的应用一学案 理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新编新课标高三数学一轮复习 第7篇 空间向量在立体几何中的应用一学案 理(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第四十六课时 空间向量在立体几何中的应用 (一)课前预习案考纲要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量。2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。基础知识梳理1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行设直线和的方向向量分别为和,则或与重合_.已知两个不共线向量,与平面共面,直线的一个方向向量为,则或在内_.已知两个不共线的向量,与平面共面,则或与重合_.2.用向量运算证明两条直线垂直设直线和的方向向量分别为和,则_.3.用
2、向量运算求两条直线所成的角设直线和的方向向量分别为和,直线和所成的角为,则与的关系是_,即_.两条异面直线所成角的范围是_.4.用平面的法向量证明两个平面平行或垂直设分别是平面的法向量,则或与重合_;_.5.直线与平面的夹角(1)_叫做斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中_(2)直线与平面所成角的范围是_.(3)若斜线与它在平面内射影的夹角为,此射影与平面内直线的夹角为,斜线与平面内该直线的夹角为,则之间的关系是_6.利用平面的法向量求直线和平面所成的角直线的方向向量,平面的法向量为,与所成的角为,则sin= 预习自测1、以点为顶点的三角形是( )A、等腰直
3、角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、无法判断2、已知,则向量与的夹角是( )A、 B、 C、 D、3、正方体中,与平面所成角的余弦值为( )A、 B、 C、 D、4、在三棱柱中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是 ( )A B C D . 5、设,则与平行的单位向量的坐标为 .6、已知,求平面的一个法向量.课堂探究案典型例题考点1:利用向量证明平行与垂直问题【典例1】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:CF平面BDE。考点2 利用向量求两条异面直线所
4、成的角【典例2】【20xx上海】如图,在四棱锥中,底面是矩形,底面,是的中点,已知,求:(1)三角形的面积;(2)异面直线与所成的角的大小。考点3:利用向量求直线与平面所成的角【典例3】如图,三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.【变式1】 如图,在正三棱柱中,AB=4, ,点D是BC的中点,点E在AC上,且(1)证明:平面平面; (2)求直线AD和平面所成角的正弦值。当堂检测1、已知正四棱柱中,=,为中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) 2、(20xx年湖南卷)如图,在直棱柱,.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正
5、弦值.课后拓展案 A组全员必做题1、正四棱柱中,则异面直线与所成角的余弦值为( )A B C D2、已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )(A) (B) (C) (D) 3、【20xx陕西】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,则直线与直线夹角的余弦值为( )A. B. C. D. B组4、如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点。(1)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F/平面A1BE?证明你的结论。A DB CA1 D1B1 C1EB组提高选做题在四
6、棱锥PABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PDDC,E、F分别是AB、PB的中点(1)求证:EFCD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论 参考答案预习自测1.A 2.A 3.D 4.C5.或6.解:设为平面的一个法向量,则即令,得,即平面的一个法向量为典型例题【典例1】证明:(1)设、交点为,连接,正方形边长为,又,四边形为平行四边形,又平面,平面,平面(2)平面平面,平面平面,平面,平面,以,所在直线分别为,轴建立空间直角坐标系,则,又,平面【典例2】解:(1)为矩形,底面,平面,又,平面,(2),即异面直线与所成的角大小为【典例3】(1)证明:取
7、中点,连接、,又,又,平面,(2)解:平面平面,平面,两两垂直以,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,则即令,则,设直线与平面所成角为,【变式1】(1)证明:该棱柱为正三棱柱,平面,平面,又,平面,平面,平面平面(2)解:取中点,中点,连接,以为原点,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系(图略),则,, ,.设为平面的一个法向量,则令,则,.设直线与平面所成角为, ,故直线与平面所成角的正弦值为.当堂检测C(1)证明:该棱柱为直棱柱,平面,平面,又,平面,平面,.(2)分别以,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设=,则,则,设为平面的一个法向量,则令
8、,则设直线与平面所成的角为, A组全员必做题1.D2.A3.A4.解:分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(图略),设棱长为2,则,平面的一个法向量,(1)设直线与平面所成角为,则(2),设为平面的一个法向量,则即整理得令,得设,则,解得,即是棱中点时,平面B组提高选做题(1)证明如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设ADa,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E、P(0,0,a)、F.,(0,a,0)0,即EFCD.(2)解设G(x,0,z),则,若使GF平面PCB,则由(a,0,0)a0,得x;由(0,a,a)a0,得z0.G点坐标为,即G点为AD的中点