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1、第8讲 立体图形上的最短途径问题一、措施技巧解决立体图形上最短途径问题：基本思路：立体图形平面化,即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本措施： （1)通过平移来转化 例如:求A、B两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (）通过旋转来转化 例如:求两点的最短距离,可将长方体表面展开，运用勾股定理即可求例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点到内侧点的最短距离，可将杯子(圆柱）侧面展开,作点有关杯口的对称点，根据“两点之间，线段最短”可知即为最短距离 3储藏知识点：（
2、）两点之间，线段最短 (2)勾股定理 4.解题核心：精确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一 通过平移来转化【例题1】如图，是一种三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3和m,A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁,想要到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?【答案】1cm【解析】试题分析:只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一种矩形,蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线,运用勾股定理即可解出答案试题解析：解:展开图如图所示， 因此,蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二 通过旋转来转化【例题】如下图
3、,正四棱柱的底面边长为cm,侧棱长为c，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点处吃食物,那么它需要爬行的最短途径的长是多少？【答案】【解析】试题分析:解此类题应将立体图形展开,转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，运用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1,设蚂蚁爬行的途径是EC（在面AA上爬行是同样的)将四棱柱剪开铺平使矩形ABB与BBC相连,连接AC，使E点在AC上（如图）因此这只蚂蚁爬行的最短途径长为【难度】一般【例题】如下图所示,圆柱形玻璃容器高8c，底面周长为6cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆
4、柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇,试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度【答案】【解析】试题分析:展开后连接,求出的长就是捕获苍蝇的最短途径,过点作于,求出、,根据勾股定理求出即可.试题解析：解:如下图所示,把圆柱的半侧面展开成矩形,点,F各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.过点S作点F所在母线的垂线，得到.【难度】较易【例题4】（红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为的正三角形A,粮堆母线A的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面达到处捕获老鼠,则小猫所通过的最短路程是_m
5、(成果不取近似值）【答案】【解析】试题分析：求小猫通过的最短距离，一方面应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数,故可得出展开图中，即可用勾股定理求出小猫通过的最短距离长.试题解析:解:作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图,设该扇形的圆心角度数为,由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得,再由，可得,故在展开的平面图形中，点到的最短距离为 【难度】一般类型三 通过轴对称来转化【例题5】桌上有一种圆柱形玻璃杯（无盖),高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬
6、至蜜糖相对方向离桌面3厘米的处时，忽然发现了蜜糖,问小虫至少爬多少厘米才干达到蜜糖所在位置？【答案】厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状,的最短距离就是线段的长，根据勾股定理解答即可试题解析:解：如图所示，作点有关杯口的对称点 则厘米 【难度】较易三、实战演习类型一 通过平移来转化1如图是一种三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20d、3m、d.A和是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 d.【答案】25dm【解析】试题分析:先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析:解:如图，三级台阶平面展开图为长方形
7、,长为20dm,宽为（3)3m,则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长.设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为d,由勾股定理可得=202+(2)32,解得5即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为2d.【难度】较易类型二 通过旋转来转化2.(陕西）有一种圆柱形油罐，已知油罐周长是1m，高AB是m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好达到A点的正上方B处,问梯子最短有多长?【答案】【解析】试题分析：把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理得出结论试题解析:解：展开图如图所示，,【难度】较易3有一种圆柱体，如图，高4c，底面半径5c，A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处蚂蚁爬行的最短距离 .【答案】
8、【解析】试题分析：圆柱展开就是一种长方形,根据两点之间线段最短可求试题解析:解：，为底面周长的一半,即【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常绕着树干回旋而上,它尚有一手绝招,就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线螺旋迈进的，难道植物也懂得数学？阅读以上信息,解决下列问题:（）如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长）为30cm,绕一圈升高（即圆柱的高)40c，则它爬行一周的路程是多少?(2）如果树干的周长是8cm,绕一圈爬行10cm,它爬行0圈达到树顶，则树干高多少？【答案】（1）50cm；(2)6【解析】试题分析：(1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长,即为的
9、长,圆柱的高即为B的长，求出的长即为葛藤树的最短路程(2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行0圈的高度,即为树干高试题解析:解:（）如图，的周长为30cm,即AC=30cm 高是40cm,则BC4cm,由勾股定理得 故爬行一周的路程是50cm (2）的周长为80c,即A=8cm 绕一圈爬行10m,则AB=1c,高BC=0 树干高=6000m=6故树干高6【难度】一般5.(江阴市）如图,一种无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点,蚂蚁爬行的最短距离是 ( )A. B C.1 【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的点沿正
10、方形的表面爬到盒内的点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，进而运用勾股定理求出试题解析：解:蚂蚁从盒外的点沿正方体的表面爬到盒内的点 蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度无盖的正方体盒子的棱长为2,的中点为 故选：B【难度】较易6已知O为圆锥顶点,A、OB为圆锥的母线,C为B中点,一只小蚂蚁从点开始沿圆锥侧面爬行到点，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿O剪开,则得到的圆锥侧面展开图为( ) 【答案】C【解析】试题分析:规定小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出成果，再运用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点，它们所
11、爬行的最短路线.试题解析:解：C为O中点,一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A侧面展开图BO为扇形对称轴,连接AC即是最短路线另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,作出有关OA的对称点,再运用扇形对称性得出有关BO的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7.(枣庄)图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线）剪掉一角,得到如图的几何体,一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm.【答案】【解析】试题分析：规定蚂蚁爬行的最短距离,需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出成果试题解析:解:如答图,易知BCD是等腰直角三角形,ACD是等边三
12、角形,在RtBCD中，在RtACE中，从顶点A爬行到顶点B的最短距离为【难度】一般8一种圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=,若一只小蚂蚁从A点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是_(成果保存根式）【答案】【解析】解：设圆锥的展开图扇形的中心角的度数为n，则 ，解得:即在中,根据勾股定理【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是多少？【答案】【解析】试题分析:根据圆锥的主视图是等边三角形可知,展开图是半径是4的半圆，点B是半圆的一种端点
13、,而点P是平分半圆的半径的中点,根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离,就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析:解:设圆锥的展开图的圆心角为n,则，解得:即在展开图中,由勾股定理得，点评:本题重要考察了圆锥的侧面展开图的计算，对的判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的核心【难度】较难10.（1)如图,一种无盖的长方体盒子的棱长分别为，,盒子的内部顶点处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽视不计）假设昆虫甲在顶点处静止不动，请计算处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲处的最短路程，并画出其最短途径,简要阐明画法(2）如果()问中的长方体的棱长分别为,如图,假设昆虫甲从盒内顶点以厘米秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行,同步昆虫乙从盒内顶点以3厘米秒的速度在盒壁的侧面上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才干捕捉到昆虫甲？【答案】（)就是最短途径 (2)5秒【解析】解：（)如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即三点共线, 根据勾股定理得如图三,将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内,即三点共线，根据勾股定理得 如图四,将右侧面展开,使右侧面与前表面在同一平面内,即三点共线.
