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1、曲线的圆弧拟合一数学应用于实践之一一、问题的提出在实践中常出现需要将曲线拟合成圆弧的场合，例如数控机床通常只能作 直线、圆弧或圆柱螺旋线的运动，因此必须把不同曲线轨迹转化成机床运动能够 接受的形式。我们可以把直线看着为半径值非常大的圆弧，而圆柱螺旋线在圆柱 底面的投影就是一段圆弧，因此下面着重由简到繁地介绍曲线拟合成圆弧的几种 方法。二、椭圆曲线的拟合椭圆曲线是一种简单常见的曲线。现以椭圆曲线长轴为对称轴，取曲线的 一半。这部分曲线可以用3圆弧法或5圆弧法拟合。这部分曲线拟合后，另部分 曲线以长轴为对称，其拟合结果也容易得到了。3圆弧法如图1示，3圆弧法用3段相切圆弧拟合椭圆曲线段。2a图1
2、3圆弧拟合设椭圆长半轴为a，短半轴为b。，则各圆弧半径计算公式如下:Ia 2 + b 2 （a 一 b）：a 2 + b 2R1=2aa 2 一 b 2 + (a - b)： a 2 + b 2R2=2b+bR3=R1各圆心坐标为:O （a 一 R ,0）;O （0,b 一 R ）;O （R 一 a,0）112231用3圆弧法拟合椭圆曲线，计算方法简单，拟合圆弧段少，但对于长、短 轴长度相差较大的椭圆曲线，拟合精度降低，如采用5圆弧法拟合，可以取得比 较好的效果。5圆弧法如图2示，5圆弧法用5段相切圆弧拟合椭圆曲线段。GR图2 5圆弧拟合同样设椭圆的长半轴为a，短半轴为b。各圆弧半径计算公式如
3、下：R1= b2 / a; R2= abR3= a 2 / b; R4= R2R5= R1各圆心坐标为：O (a - R ,0); O 3，j ); O (0,b - R )； 1122233O (-x，j ); O (R - a ,0) 42251从图 2 知：OO = R - R ; O O = R - R ; OO = J(a R )2 + (b R )21 2212 33213、13,OO 2 + O O 2 -OO 2、 u=arc cos( 32_31j )2OP O2O3garc tan( ) R - b3x = (R - R )sin(-u)j = （R 一 R ）cos（-u
4、） 一 R + b与3圆弧法相比，5圆弧拟合比3圆弧更接近理论曲线，因此5圆弧法有较 高的拟合精度。三、复杂曲线的拟合在这里复杂曲线是指非圆函数曲线和列表曲线。非圆函数曲线通过计算可 转化成列表曲线。列表曲线由一系列有序点列P1 * y1）, P2 （x2, y2）， Pi （xi，*）, Pn （xn，yn）组成，可列成表格形式。列表曲线的数据也可以 通过检测工具对实物逐点测量后获得。下面介绍两种较常见的列表曲线拟合方法：双圆弧法双圆弧处理方法依次取列表曲线的4个点，如图3所示。要确定P2P3之间的圆弧段P2T和TP3,必须给出P1, P2, P3和？4共4个点。 P1P4点的分布有多种情况
5、，但经过适当处理后可归纳成图4所示的两种情况。情况是P1, P4点在P2, P3点连线的同侧，所拟合的圆弧也在连线的同侧， 称为同侧圆弧拟合（见图5）。情况的P1，P4点在P2, P3点连线的异侧，所拟同侧圆弧拟合的计算公式推导如下：如图5示，过P2点作ZP1P2P3的角平分线P2A2的垂线P2M,过P3点作/ p p p 的伟平命纬 p A 的布纬 p A/T p 占甬作 /p p A/r 的有平命纬 p nt 4vb P2P3P4的角平分线 P3A3的垂线 P3M， P?点再作匕P3P2M 的角平分线 P?N， P 占作NP P M的角平分线PN, 过P N与P N的交点N作P P 的垂线
6、NP, ，J匕 JJ匕J匕 JNP与P2A2和P3A3分别交于02、O3点，分别以02、O3为圆心，O2P2、O3P3为 半径作圆弓瓜C2、C3，2圆弓瓜相切于N点，且P2M和P3M也分别在P2点和？3点 与C2、C3相切，则孤P2N和弓瓜NP3构成了 P2、P3给定点之间的逼近线。设C2、C3圆弧的半径分别为r2、r3，则可推导出：尸2 = d cos v(sin u + cos v) - d sin v(cos u - sin v) / h尸3 = d cos v(sin q + cos v) - d sin v(cos q - sin v) / h式 中， h = (cos q 一 si
7、n v)(sin u + cos v) 一 (sin q + cos v)(cos u 一 sin v) ； d 是 P2点和？3点之间的距离；q、u和v分别是矢量PA PA及PP与x轴正向之 32 23 32 3间的夹角。因此，由给出的P1P4点座标值，可以确定d、q、u、v的值，这样就可以 确定r2、r3。根据已知数据再确定圆心O2、O3及N点的座标值。异侧圆弧计算公式的推导类似同侧圆弧，在此不再赘述。双圆弧拟合法可保证圆弧逼近线过给出点，并在各点一阶导数连续。它的 计算方法简单，适应性强，有较好的拟合精度。缺点是拟合后的圆弧段数较多， 拟合精度不能调控。最小二乘法与双圆弧拟合法不同，它拟
8、合成的近似圆弧不一定要通过各给出点。如图6 示，近似圆弓瓜R与每个给出点之间绝对误差的平方和为最小。图5最小二乘法拟会圆弧圆弓瓜与点准确值的误差可以人为地用“容差”ta来限定，如果所有被拟合 的点均在R土ta的“容差”带范围内，则认为日圆孤拟合成功。“容差”是根据实际需要而人为设定的，一般选用很小的数值，如0.01mm。 如果“容差”越小，则逼近精度就越高，每条圆弧段能满足精度的点减少，因此 总的圆弧段数就会增加。反之，则逼近精度降低，每段圆弧能满足精度的点增加，因此总的圆弧段数就会减少。最小二乘法的计算方法如下：如图6示，近似圆弧的圆心坐标为0,b），半径为R，（七，七）为曲线上任 点的坐标
9、，则可求得：a = Aa / a ； b = Ab / bR二10 （a-气）iE （b-脖T i=1i=1（推导过程略，请参阅最小二乘法有关资料）通过一组列表曲线的拟合可得到若干条拟合圆弧。前面曾提到近似圆弧不 一定通过给出点，因此就存在若干条圆弧中相邻圆弧之间的衔接问题。比较简便 的解决方案如图7示。圆弧. 注：虚线为老圆弧，实线新圆弧圆弧RiR一:R2 P牛d 其 1IX图Z 2条拟合圆弧的衔接设PP点拟合成圆弧1，圆心为0，半径为R。PP点拟合成圆弧2, 1811815圆心为0,半径为R。现以R为半径，分别以P与P为圆心作圆交于O，O与22118110必须在圆弓瓜1的同侧。再以O,为圆
10、心，R为半径作圆弧过？、P点，产生新圆 11118孤PP，新圆弓瓜的起点是P，终点是P。同理产生圆心为O，半径为R的新圆1 81822孤P8P15，新圆弓瓜的起点是P8，终点是P15。两条新圆弓瓜的衔接点是P8。用这样方 法就可以将若干条圆弓瓜串连起耒，而产生的误差也在允许范围之内。最小二乘法拟合最大优点是拟合精度可以调控，可以根据实际使用情况选 择不同的拟合精度。在满足同样的使用要求下，最小二乘法拟合的圆弧段数比双 圆弓瓜法少，但计算比较繁琐。四，空间曲线的拟合以上讨论的是平面曲线，本节讨论空间曲线的拟合。空间曲线一般以列表 曲线表示，如（X，y， Z ）， （X， y， z），（x，y.，
11、 z.）， . （x， y， z ）111222i i in n n等。空间列表曲线可拟合成数控设备能够接受的圆柱螺旋线。如图8示，圆柱螺 线由空间有序点（X，y， z）， （X， y， z。），. （x.， y.， z.）， . （x， y， z ）111222i i in n n拟合而成。z圆概线展开k = tany即圆柱螺线及其展开图x = rcoso y = r sin oz = kro该圆柱螺线符合两方面的拟合要求，一方面是空间有序点在xy平面上的投 影点（x1，y1），（x2，y2），（x.，约），.（xn，yn），由最小二乘法拟合成半径 为r，圆心角为o的平面圆弧，所有的投影点都
12、在rta的“容差”带范围之内。 另一方面还要根据圆柱螺线的参数方程式对z1，z2, z3.zn进行逐点检查。圆柱 螺旋线的参数方程表达式为：其中r为底平面圆弧半径，o为圆弧角（单位: 孤度），k为螺旋斜率。现知底面拟合圆弧半径为r；圆弧起始角为o1，终止角为o孔；起点z值为 z1，终点为z，则螺旋斜率k = ZZi 。知道螺旋斜率k，就可以按照公式1nr（o -o ）z= Z1 + kr（oi -oi）对起、终点之间任一点进行检查，图8给出点的z值与螺线 对应的z值相比，均在土tb的“容差”带范围之内。两方面的“容差”ta与tb 的设定值可以不同，但必须同时符合两方面的拟合要求，这一段圆柱螺线才算拟 合成功。五，小结本文由简到繁地介绍几种圆弧拟合曲线的方法，在实践中可解决绝大多数 曲线拟合成圆弧的问题。以上述几种方法为数学模型编制计算机应用软件，在实 践中应用可取得非常好的效果。
