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1、2008 年版博士资格考试大纲考试时间： 150 分钟分析学 (100 分， 三门中选二门 )复分析 (50 分)1. Cauchy 积分理论2. Weierstrass级数理论3. 解析延拓4. Riemann 的几何理论(a) 正规族理论(b) Riemann 映射定理及边界对应原理5 分式线性变换群和特殊区域的解析自同胚群6 Schwarz引理(a) Schwarz-Pick-Ahlfors 定理(b) Poincare度量7 Riemann 曲面的基本理论(a) Riemann曲面的概念(b) 亏格和 Riemann-Roch 定理(c) 紧 Riemann 曲面的分类实分析 (50
2、分)1Fourier 变换(a) L1 函数的 Fourier 变换(b) Schwartz 函数与缓增分布(c) Plancherel公式， L p 函数的 Fourier 变换(d) 收敛与求和， Poisson核、 Gauss核2Hardy-Littlewood 极大函数(a) 恒等逼近(b) Marcinkiewicz 插值定理(c) Hardy-Littlewood 极大函数3奇异积分(a) Hilbert 变换(b) Riesz 变换(c) 卷积型奇异积分算子(d) 一般（非卷积型） Calderon-Zygmund 算子4Hardy 空间与 BMO 空间(a) 原子 Hardy
3、空间(b) BMO 空间5Littewood-Paley 理论与乘子(a) Littewood-Paley 理论(b) H?rmander 乘子定理泛函分析(50 分)1. Banach空间和 Hilbert 空间的基本理论及典型例子2. Banach空间和 Hilbert 空间上有界线性泛函和线性算子基本理论3. 紧算子(a) Riesz-Fredholm 理论(b) 紧算子的基本性质 , 谱理论(c) 对称紧算子(d) 有界自伴算子的谱分解(e) 闭算子的理论（ f）自伴扩张(g) 无界自伴算子的扰动4. 算子半群(a) Hille-Yosida 定理(b) 单参数算子酉群的 Stone定
4、理参考书目：【 1】 Ahlfors: Complex Analysis. McGraw-Hill Book Company【 2】 伍鸿熙等 : 紧 Riemann 曲面引论 科学出版社【 3】 J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, Amer. Math. Soc.;【 4】 程民德，邓东皋，龙瑞麟编著，实分析，高等教育出版社.【 5】张恭庆 , 林源渠等 : 泛函分析讲义上 , 下册【 6】 Yosida: Functional Analysis Springer-Verlag;)二. 代数学（100 分）群1 群, 子群 , 正规子群 , 商群 ; 同
5、态与同构 , 同态定理与同构定理 .2. 群例 : 循环群 , 二面体群 , 四元数群 , 置换群 , 线性群 , $A_n$, $S_n$.3. 自由群 ,生成元与定义关系 .4. 群在集合上的作用 ; Sylow 定理和群 .5. Jordan-Holder 定理 ,直积分解定理 .6. 可解群 .7. 算子群 .8. 特殊射影线性群的单性 .9. 空间上的型与典型群 .10. 辛群 .环1. 环 , 子环 , 理想 , 商环 ; 同态与同构 , 同态定理与同构定理 .2. 环的直和 .3. 素理想和极大理想 , 幂零根和 Jacobson根 .4. 环的整除性理论 , 唯一分解环 , 主
6、理想整环 , 欧几里得环 .5. 整环的分式域 .6. 交换环上的多项式环 , Gauss引理 .7. 形式幂级数环 .8. 四元数体 .域1. 有限扩张 , 扩张次数乘积公式 .2. 多项式的分裂域 , 正规扩张 .3. 可分扩张 .4. 单扩张定理 .5. Galois 基本定理 , 简单的 Galois 扩张 .6. 用根式解方程的判别准则 .7. 有限域 .模1. 模 , 子模 , 商模 ; 模同态与同构 , 模同态定理与同构定理 .2. 模的自同态环 .3. 模的直和与直积 .4. 自由模 .5. 主理想整环上的有限生成模的结构定理 .6. Nakayama引理 .7. 模的张量积
7、.8. 同态函子和张量函子9. 整性相关 .结合代数和有限群的表示论1. 代数和模 .2. 不可约模和完全可约模 .3. 半单代数的结构 .4. 群的表示、特征标、正交关系、特征标表 .初等数论1. 算术基本定理2. 数论函数3. 孙子定理4. 二次互反律5. 连分数6. Pell 方程参考书目【 1】 聂灵沼，丁石孙，代数学引论，高等教育出版社， 2000.【 2】 徐明曜，赵春来，抽象代数（ II ），北京大学出版社nd【 3】 N.Jacobson: Basic Algebra 1, 2 Edition W.H. Freeman & Company 1974 【 4】柯斯特利金： 代数学
8、引论 （第一卷） 高等教育出版社【 5】潘承洞，潘承彪：初等数论，第二版，北京大学出版社，2004三. 几何与拓扑（ 100 分，其中几何与拓扑各50 分）1 代数拓扑a) 基本群与覆叠空间b) 曲面的分类c) 同调与上同调的理论、计算、常见例子和应用d) 同伦群及其基本性质2 微分流形a) 微分流形的概念b) 切丛与向量丛c) 横截性理论d) 微分形式， Stokes 定理， de Rham上同调3 微分几何a) 联络和曲率的基本概念b) Riemann几何的基本理论c) 紧曲面上的 Gauss-Bonnet 公式参考书目：【 1】 尤承业著，基础拓扑学讲义 。 北京大学出版社， 1997.
9、【 2】 姜伯驹著，同调论。 北京大学出版社， 2006.【 3】 陈省身、陈维桓著，微分几何讲义 ( 第二版 ) 。北京大学出版社 , 2001年。（第 1 章到第七章 ,附录一）【 4】 Allen Hatcher, Algebraic Topology.Cambridge Univ. Press, 2002（.略去占其一半篇幅的 Additional Topics 部分）【 5】Victor Guillemin, Alan Pollack,Differential Topology. Prentice-Hall, 1974.【 6】 Theodor Brocker, Klaus Jani
10、ch, Introduction to Differential Topology.Cambridge Univ. Press, 1982.【 7】陈维桓李兴校黎曼几何引论（上）（第一到第六章）。四 . 微分方程（100 分，常微偏微各50 分）常微分方程定性理论：线性方程（组）的解法，首次积分， 幂级数解法，解的存在和唯一性定理， 解的延拓和对参数及初值的依赖性， 奇解与包络， 边值问题， 平面奇点分类与极限环，李雅普诺夫第二方法， Hopf 分支， 二维周期系统的调和解，拟线性系统， 耗散系统， Duffing 方程， 环面上的常微系统， 旋转数， 极限点集， 各态历经偏微分方程：1 数学
11、物理方程位势方程：基本解和 Green 函数， 极值原理和最大模估计。热方程：Fourier 变换方法，分离变量法，极值原理和最大模估计。波动方程：特征线法，分离变量法，能量不等式。2 二阶椭圆型方程广义函数理论和Fourier 变换基本理论2Sobolev 嵌入定理， L 理论（解的存在唯一性） 。W 2, p 估计的结论及应用。参考书目 :【 1】丁同仁，李承治：常微分方程 ;【 2】张芷芬等，微分方程定性理论 第 6、7 章;【 3】姜礼尚等，数学物理方程讲义 ;【 4】陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组【 5】 D.Gilbarg, N.S. Trudinger: Ellip
12、tic Partial Differential Equations of Second【 6】 Hormander: The analysis of linear partial differential operators （第一卷）， Springer-Verlag, 1983.五： 概率论（100 分）概率论博士生资格考试涵盖了研究生课程高等概率论和随机过程论 ，前者以本科生课程测度论为基础，后者是本科生课程应用随机过程的后续课，因此随机过程部分也包含难度较低的应用随机过程的内容。一、测度论 域， 方法积分的性质， Levy 单调收敛定理， Fatou 引理， Lebesgue控制收敛
13、定理，积分的绝对连续性条件期望，Radon-Nikodym 导数， 条件概率，正则条件概率乘积空间， Kolmogorov 延拓定理Fubini 定理随机变量四种收敛的定义及其相互关系二、概率论概率空间 , 随机变量的独立性欧氏空间的测度性质，弱收敛弱大数定律， Chebyshev不等式强大数定律，Borel-Cantelli 引理 随机变量级数的收敛，Kolmogorov中心极限定理， Lindeberg-Feller 定理Fourier 变换 , 特征函数，逆转公式，Poisson收敛定理条件独立尾事件， Kolmogorov0 1 律，可交换序列三级数定理三、随机过程 域流，停时， Wald 引理鞅、上鞅、下鞅（离散时间） ，D
