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1、 不定方程一、定义：把未知数的个数多于方程的个数的方程（组）称为不定方程这里的“不定”指的是方程的解不定二、基本思路与方法：1因式分解法，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解，对比两边，转化为若干个方程构成的方程组，进而求解。2配方法，将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，再用不等式予以处理。3不等式估计，利用不等式工具确定不定方程中某元的范围，再利用整数性“夹逼”出该元的取值。4运用整除性把“大数”化为“小数”，使方程的解明朗化。5同余方法，如果不定方程有整数解，则对任意，其整数解满足。利用这一条件，同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。6构造法，在不易得出方程的全部解时
2、，通过构造法可以提供其部分解，从而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。7无穷递降法，适合证明不定方程没有正整数解。三、例题选讲：例1.求所有满足方程的正整数解。解：法1（因式分解）：方程即，可得-121-11-1111121111121-121-11-1解得。法2（配方法）：方程即，即例2将表示成k个连续正整数之和，求项数k的最大值。解：设这k个连续正整数中最小的数为a，则，即，作因式分解可得。显然，为了让k尽量大，则需a尽量小，故需与的取值尽量接近，因此令，可得，。所以，项数k的最大值为486。例3.解方程：x 2 + x 2 = 0，其中 x 表示不超过x的最大整数推荐精
3、选解 令，则方程变为（不定方程）整理得因为，所以，解得所以 x =或或1代入方程x 2 + x 2 = 0中得或或1注：运用不等式确定方程中某元的范围，进而求解。例4找出所有整数组（x，y），使得解（不等式估计法）把方程变为由原方程可知，于是得由于，从而有，解得据y的整数性可得y的可能取值为，和0当时，得；当时，得；当时，此时无整数解；当时，x = 1综上，原方程的所有整数解为（ 3， 2），（ 2，1），（0，1） 例5已知正整数满足：，都是完全平方数，求的值。解：设，且。则，即，可得 解得，即得或27或7，这里只有能使为完全平方数。所以。三、求方程x2xy4y3y2y的整数解【解】【不等式
4、估计法】原方程可变形为4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1(2x+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2(2y2+y)+1+(y2+2y)=(2y2+y+1)2+(y2+2y)（1）当，即当y2时，(2y2+y)2(2x+1)2(2y2+y+1)2而2y2+y与2y2+y+1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解（2）当y=1时，x2+x=0，所以x=0或1推荐精选（3）当y=0时，x2+x=0，所以x=0或1（4）当y=1时，x2+x=4，此时x无整数解（5）当y=2时，x2+x=30，所以x=6或5综上所述：，例6证明：不定方程没有整数解.【证明】【
5、同余方法】若存在整数x，y使得成立，对方程两边模11，可知；若y能被11整除，则，不合题设；若y不能被11整除，则，可得11能整除或，可知，于是有，这仍与题设不合。综上，不定方程没有整数解。例7设n是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得n是某个整数的四次方分析：显然“最小的正整数b”体现出了b的范围，应紧紧抓住这个条件【解（运用整除性递降大数）】据题意可建立等式 （关于n，b的不定方程）由于n是某个整数的四次方，故设，x是整数。那么，（转化为关于x，b的不定方程）可知7能整除，由于7为质数，所以7能整除，故设，m为整数，则有（进一步转化为关于m，b的不定方程，方程更加简单）因为
6、最小的正整数b的充要条件是取最小，即最小，也就是时故得，解得综上，最小的正整数b为18例8求方程的质数解分析：若x为偶数，则z必为偶数；若x是奇数，y为奇数，则z仍为偶数；若x是奇数，y为偶数，则z为奇数。因此，无论怎样，x，y，z中至少有一个为偶数，而偶数为质数的只有2解 若x为偶数，则x = 2，此时可得z = 2，从而得y = 59；若x为奇数，y为奇数，则z为偶数，即得z = 2，此时方程变为由于122 = 261，所以得x = 61，从而得，不合，舍；推荐精选若x为奇数，y为偶数，则y = 2，此时方程变为。方程可进一步变为，即（注：因式分解；数的分解思想）由于z是质数，不能继续分解
7、，故需，即得x = 11，z = 23综上，原方程的质数解为（2，59，2）或（11，2，23）例9关于本原勾股数的两条性质：若正整数x，y，z满足，且，则称x，y，z为一组本原勾股数，且满足：（1）x，y是一奇一偶两个正整数，z为奇数；（2）若x为奇数，y为偶数，则，其中M、N为一奇一偶两个正整数证明：（1）若x，y均为偶数，则z必为偶数，与矛盾；若x，y均为奇数，则，得而，则有，矛盾所以，x，y是一奇一偶两个正整数，从而得z为奇数（2）方程可变形为，即若z，y不互质，则有质因数a，那么质因数a能整除，可得a能整除，这与矛盾所以z，y互质，即考查：因为；又为奇数，所以因此，即所以 ，且，b、
8、c均为正奇数所以，令，则有 ，故令 ，就有，这里的m、n均为正整数，所以M、N为一奇一偶两个正整数例10求方程的正整数解分析：先分析出x，y，z的奇偶性，就有可能把方程变形为“勾股方程”解 易知为偶数，为奇数，所以为奇数，可得z为奇数推荐精选由于3不能整除，所以3不能整除，即得3不能整除，故可设，于是，可得若x为奇数，则，所以x为偶数，可设为于是，而，所以若y是奇数，则，所以y是偶数，设。此时方程变形为显然，故据本原勾股数的性质有 ， 。由可设，其中，且代入中得因为为奇数，为偶数，所以为奇数，可得，所以从而有，且由于，所以，可知m为奇数所以，注意到是m个奇数的和，而m为奇数，所以也为奇数，所以
9、为奇数，即得，从而得所以，综上，方程的正整数解为例11找出所有的正整数组（x，y，z），使得y是质数，y和3均不整除z，且解 方程变形为现考查的值，若为1，则与均为完全平方数，便可以产生两个方程因为，而由y为质数可知，可得从而，可得所以所以，且注意到可变为，即，可得（注：这样做的目的是利用y为质数的不可分解性来建立新的方程）为此有如下情况：（1），可得，由得，整理得 ，即，可得m = 1，y = 7推荐精选所以有 x = 8，y = 7，z = 13；（2），可得x = 0，不合，舍；（3），可得，可得，即，注意到，而，所以不可能综上，所有的正整数解为（8，7，13）例12设是大于11的素数，
10、问是否存在合数和正整数，使得.证明你的结论.解：因为为合数，故设，其中为一个素数，为大于1的整数。那么能整除，即能整除。因为为素数，所以，且。那么， 由于，所以能整除，所以能整除。因为，所以只能整除，而也是一个素数，因此。因此有整除，于是。据费马小定理，有，而，矛盾。综上，不存在合数和正整数，使得.等式即，又 ，即若11能整除，则可设，且为偶数，则有推荐精选可得，故设，于是例13求方程的正整数解，其中.解：方程即，可知，且。若，则，可得。因为与是一奇一偶两数，所以为奇数，不合题设，舍；若，则为正偶数，可知与的奇偶性相同。当与同为偶数，可令，则有，可得，可知与的奇偶性相同。可见与含因数2的个数是
11、相同的。故令，且均为正奇数，于是有，其中。可知，且。因为均为奇数，所以为偶数。若，可得，于是，且。同上道理，必为偶数。因此，可令，则。所以，这只能，即。若，则，可得，且。于是不定方程的解为四、（本题满分50分）求方程的正整数解，其中.四、（本题满分50分） 【解答】下证，若为大于1的奇数，则此时原方程无满足题意的解.下证关于、的方程无满足、均为正整数且的解. (反证)若关于、的方程有满足、均为正整数且的解.由于为偶数，、的奇偶性相同. 推荐精选若、同为奇数，则原方程可化为，注意到是个正奇数之和，故为大于1的奇数，这与它是的因子矛盾，故、同为偶数. 设是所有解中使最小的，则可设，其中，均为正整数，则有，此时由，得，即，且也是其一组解，与的最小性矛盾. 故当为大于1的奇数时，方程无满足、均为正整数且的解，因此，为正偶数. 设在解中，有，故有，则应有与同为2的正整数次幂，且. 设，则由前面的讨论知不可能是大于1的奇数.若是正偶数，由无穷递降法，有，则正整数解组与正整数解组中的最小性相矛盾. 则只能有，. 在本题中，. 故原方程可化为.设，其中为正整数，则. 且由，有，故，. 综上，知满足题意的原方程的所有解组为，其中，. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选
