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1、人教版九年级下册数学课本知识点总结第二十六章反比例函数一、反比例函数的概念k1. 兀(0)可以写成y = (0)的形式,注意自变量x的指数为T,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数疋工。这 一限制条件;v =2. 尢(上=0)也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求 出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3. 反比例函数一;的自变量0 ,故函数图像与x轴、y轴无 交点丿八、二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位 于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例 函数中自变量函数中自变量x 0,函数值y 0,所以它的图像
2、与 x 轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远 达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤:列表;描点;连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点: 列表时选取的数值宜对称选取; 列表时选取的数值越多,画的图像越精确; 连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑 的曲线连接,切忌画成折线; 画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴 相交。三、反比例函数及其图像的性质y =1. 函数解析式:X (20)2. 自变量的取值范围:卜工。3. 图像:(1)图像的形状:双曲线,鬧越大,图像的弯曲度越小,曲线越平直。旧越小,图像的弯曲度越大。(2)图像的位置和性质
3、:当- -时,图像的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;当汇时,图像的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大。(3)对称性:图像关于原点对称,即若(a, b)在双曲线的一 支上,则(-必,7 )在双曲线的另一支。图像关于直线 厂妆对称, 即若(a, b)在双曲线的一支上,贝b ,)和(-可,-空)在双曲 线的另一支上。.4. k的几何意义y 如图1,设点P (a, b)是双曲线 怎上任意一点,作 PA丄x 轴于A点,PB丄y轴于B点,则矩形PBOA的面积是|k| (三角形 PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k| )。如图2,由双曲线的对称性可知,P关
4、于原点的对称点Q也在双 曲线上,作QC丄PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为2|k|。5. 说明:(1) 双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论(2) 直线心込与双曲线二匚的关系:当Hg 时,两图像没有交点;当时,两图像必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.四、实际问题与反比例函数1. 求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式。2. 注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.五、充分利用数形结合的思想解决问题第二十七章相似三角形一、图形的相似1. 图形的相似:如果两个图形形状相同,但大小不一定相
5、等,那么这两个图形相似。(相似的符号:S)性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。2判定:如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那 么这两个多边形相似。3相似比:相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1 时,相似的两个图形全等。二、相似三角形1性质:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交, 所构成的三角形与原三角形相似。2. 判定.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个 三角形相似。如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相 应的夹角相等,那么这两个三角形相似。如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。(三边对应成比例两个
6、三角形的两个角对应相等;两边对应成比例,且夹角相等; 相似三角形的一切对应线段 ( 对应高、 对应中线、 对应角平分线、 外接圆半径、 内切圆半径等)的比等于相似比。 )3. 相似三角形应用 视点:眼睛的位置;仰角:视线与水平线的夹角;盲区:看不到 的区域。4. 相似三角形的周长与面积: 相似三角形周长的比等于相似比。相似多边形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于 相似比的平方。相似多边形面积的比等于相似比的平方。三、位似1位似图形:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的 连线交于一点 ,对应边互相平行, 那么这两个图形叫做位似图形, 这个点叫做 位似中心 ,这时的相似比又称为位似
7、比。 2性质:在平面直角体系中, 如果位似变换是以原点为位似中心, 相似比为k,那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k1、位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形;2、两个位似图形的位似中心只有一个;3、 两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心 的一侧;4、位似比就是相似比 利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似;5位似图形的对应点和位似中心在同一直线上, 它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似 可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点, 不过位似图形也会随着位似中心
8、的位变而位变。6根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形 ,这两个图形分布在位似中心的两侧 ,并且关于位似中心对称。第二十八章 锐角三角函数、锐角三角函数1正弦:在RtAAB(中,锐角/A的对边a与斜边的比叫做/ A的正弦,记作sinA ,即si nA二/ A的对边/斜边=a/c ;2. 余弦:在Rt AB(中,锐角/ A的邻边b与斜边的比叫做/ A的余弦,记作cosA,即cosA二/ A的邻边/斜边=b/c ;3. 正切:在Rt AB(中,锐角/ A的对边与邻边的比叫做/ A的正切, 记作tanA,即tanA=Z A的对边/ / A的邻边二a/b。tanA是一个完整的符号,
9、它表示/ A的正切,记号里习惯省去角的 符号“/” ;tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中/ A 的对边与邻边的比;tanA不表示“ tan ”乘以“ A”;tanA的值越 大,梯子越陡,/ A越大;/ A越大,梯子越陡,tanA的值越大。4、余切:定义:在Rt ABC中,锐角/ A的邻边与对边的比叫做/ A 的余切,记作cotA,即cotA= / A的邻边/ / A的对边二b/a ;5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、 正弦、余切、正切。(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正三海轟、00456(F剜切、余切互为余函数,可以概括为:013返亜21一个
10、锐角的三角函数等于它的余角1迴21 Itana01不存在的余函数)用等式表达:cults不存在1T0若/ A为锐角,则sinA = cos(90- / A)等等。6、记住特殊角的三角函数值表0, 30, 45, 60, 90 7、当角度在090间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或 减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大 (或减小)而 减小(或增大)。0w sin aW 1, 0 W COS aW 1。同角的三角函数间的关系:tan acot a =1, tan a =S in a /cos a, COt a =COsa /sin a, sin 2a +COs2a =1二、解
11、直角三角形1. 解直角三角形 : 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程。2. 在解直角三角形的过程中用到的关系:(在厶ABC中,/ C为直角,/ A、/ B、/ C所对的边分别为a、b、c,)(1)三边之间的关系: a2+b2=c2; (勾股定理 )(2)两锐角的关系:/ A/ B=90;(3)边与角之间的关系:sinA =a/c ;(a= c sinA)cosA =b/c ;(b= c cosA)tanA=a/b 。sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos(90 -A)22sin a +cos a =1第二十九章 投影与视图一、投影1投影:一般地,用光线照射物体,
12、在某个平面(地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影, 照射光线叫做 投影线 ,投影所在的平 面叫做投影面 。2平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影。 (光源特别远 ) 3中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心 投影 4正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投 影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。5 当物体的某个面平行于投影面时, 这个面的正投影与这个面的形 状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时,这个面的正投 影变小。当物体的某个面垂直于投影面时, 这个面的正投影成为一条 直线。二、三视图1三视图:是观测者从三个不同位置 ( 正面、水平面
13、、侧面 ) 观察同 一个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图 的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助,基本能完整的表 达物体的结构。2主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图。3俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图4左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图 5三个视图的位置关系: 主视图在上、 俯视图在下、 左视图在右;主视、俯视表示物体的长,主视、左视表示物体的高,左视、俯视 表示物体的宽。 主视、 俯视 长对正 ,主视、左视 高平齐, 左视、 俯视 宽相等 。6画法:看得见的部分的轮廓线画成实线,因被其它部分遮档而看 不见的部分的轮廓线画成虚线。#