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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第第八节节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 第一章第一章 （Continuity and Discontinuity of Function）三、函数的间断点三、函数的间断点二、函数的连续性二、函数的连续性一、问题的提出一、问题的提出四、小结与思考题四、小结与思考题8/22/20241返回返回上页上页下页下页目录目录一、问题的提出一、问题的提出（Introduction）0T (时间时间)温度温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性8/22/20242返回返回上页上页下页下页目录目录二、函数的
2、连续性二、函数的连续性（Continuity of Function）1.1.函数的增量函数的增量8/22/20243返回返回上页上页下页下页目录目录2. 连续的定义连续的定义（Definition of Continuity ）8/22/20244返回返回上页上页下页下页目录目录在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义 , 则称则称函数函数设函数设函数且且定义定义28/22/20245返回返回上页上页下页下页目录目录3. 单侧连续单侧连续(One-sided Continuity)左连续左连续 (Left Continuity) :当当时时, 有有右连续右连续(Right Continuity)
3、 :当当时时, 有有定理定理与单侧极限与单侧极限相类似！相类似！8/22/20246返回返回上页上页下页下页目录目录4. 连续函数连续函数(Continuous Function)若若在在某区间上某区间上每一点每一点都连续都连续 , 则称它在该则称它在该区间上区间上连续连续 , 或称它为该或称它为该区间上区间上的的连续函数连续函数 .如果此区间包含如果此区间包含端点端点， 那么那么（1）函数在）函数在左左端点端点连续是指连续是指在在左左端点端点右右连续，连续，（2）函数在）函数在右右端点端点连续是指连续是指在在右右端点端点左左连续连续.连续函数的图形连续函数的图形是一条是一条连续连续而而不间断
4、不间断的曲线的曲线在在闭区间闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作8/22/20247返回返回上页上页下页下页目录目录在在上上连续连续 .( 有理有理整整函数函数 )又如又如, 有理有理分式分式函数函数在其在其定义域内连续定义域内连续.只要只要都有都有例如例如,8/22/20248返回返回上页上页下页下页目录目录在在内内连续连续 .证证: 即即这这说明说明在在内内连续连续 .同样可证同样可证: 函数函数在在内内连续连续 .例例1 证明函数证明函数8/22/20249返回返回上页上页下页下页目录目录例例2 讨论函数讨论函数在在处的连续性处的连续性解解由于由于即即左右极限不相等左右极限
5、不相等，所以该函数在，所以该函数在但是但是，因为，因为点不连续点不连续，所以函数，所以函数在在处处右连续右连续8/22/202410返回返回上页上页下页下页目录目录三、函数的间断点三、函数的间断点（Discontinuity of Function）定义定义3在在在在(1) 函数函数(2) 函数函数不不存在存在;(3) 函数函数存在存在 , 但但 不连续不连续 :设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , 则则这样的点这样的点下列情形下列情形之一之一函数函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;8/
6、22/202411返回返回上页上页下页下页目录目录第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在 ,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡 , 称称若若其中有一个为其中有一个为为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .为为振荡间断点振荡间断点 .间断点分类间断点分类:8/22/202412返回返回上页上页下页下页目录目录为其为其无穷无穷间断点间断点 .为其为其振荡振荡间断点间断点 .为为可去可去间断点间断点 .例如例如:8/22/202413返回返回上页上页下页下页目录目录
7、显然显然为其为其可去可去间断点间断点 .(4)(5) 为为其其跳跃跳跃间断点间断点 .8/22/202414返回返回上页上页下页下页目录目录例例3 当当取何值时，函数取何值时，函数解解 因为因为要使要使，则需要，则需要故当且仅当故当且仅当时，函数时，函数在在点连续点连续在在处连续处连续8/22/202415返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的
8、类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式8/22/202416返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习习 题题 1-8 2（偶数题偶数题） 5 6思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数x = 2 是第二类是第二类无穷无穷间断点间断点 .间断点的类型间断点的类型.答案答案: x = 1 是第一类是第一类可去可去间断点间断点 ,8/22/202417返回返回上页上页下页下页目录目录2. 讨论函数讨论函数在在处的连续性。处的连续性。解：解：右连续但不左连续右连续但不左连续, ,故函数故函数在点在点不连续。不连续。8/22/202418返回返回上页上页下页下页目录目录3. 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别 习题习题19 3（2）为跳跃间断点为跳跃间断点. . 解：解：8/22/202419返回返回上页上页下页下页目录目录间断点的类型间断点的类型.解解: 间断点间断点为为无穷间断点无穷间断点;故故为为跳跃间断点跳跃间断点. 4. 确定函数确定函数8/22/202420
