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1、高考数学精品复习资料 2019.5精品题库试题文数1.（北京市海淀区20xx届高三年级第一学期期末练习）如图所示，正方体的棱长为，是线段上的动点，过点做平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为AB CD解析 1.平面，所以平面平面，在上运动，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，即，所以，所以当时，2.(20xx课标，9,5分) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0, 1), (1,1, 0), (0,1, 1), (0,0, 0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到的正视图可以为()解析 2.在空间直角坐标系中, 易知O(0,0,
2、 0), A(1,0, 1), B(1,1, 0), C(0,1, 1) 恰为单位正方体的四个顶点. 因此该几何体以zOx平面为投影面所得的正视图为A.3. (20xx全国, 20, 12分)如图, 四棱锥S-ABCD中, ABCD, BCCD, 侧面SAB为等边三角形. AB=BC=2, CD=SD=1. ()证明:SD平面SAB;()求AB与平面SBC所成的角的大小. 3.4.(20xx湖北, 18, 12分)如图, 在四面体ABOC中, OCOA, OCOB, AOB=120, 且OA=OB=OC=1. ()设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ. 证明:PQOA;()求二面角O-
3、AC-B的平面角的余弦值. 4.5.(20xx江西, 20, 12分)如图, BCD与MCD都是边长为2的正三角形, 平面MCD平面BCD, AB平面BCD, AB=2. ()求直线AM与平面BCD所成角的大小;()求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值. 5.6.(20xx江苏, 16, 14分)如图, 在四棱锥P-ABCD中, PD平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, ABDC, BCD=90. ()求证:PCBC;()求点A到平面PBC的距离. 6.7.(20xx全国, 19, 12分)如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D为BB1的
4、中点, E为AB1上的一点, AE=3EB1. ()证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;()设异面直线AB1与CD的夹角为45, 求二面角A1-AC1-B1的大小. 7.8.(20xx江苏，22,10分) 如图, 在直三棱柱A1B1C1-ABC中, ABAC, AB=AC=2, A1A=4, 点D是BC的中点.(1) 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.8.答案和解析文数答案 1.B解析 1.平面，所以平面平面，在上运动，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，即，所以，所以当时，答案 2.A解析 2.在空间直角坐标系中, 易知O
5、(0,0, 0), A(1,0, 1), B(1,1, 0), C(0,1, 1) 恰为单位正方体的四个顶点. 因此该几何体以zOx平面为投影面所得的正视图为A.答案 3.解法一:()取AB中点E, 连结DE, 则四边形BCDE为矩形, DE=CB=2. 连结SE, 则SEAB, SE=. 又SD=1, 故ED2=SE2+SD2, 所以DSE为直角. (3分)由ABDE, ABSE, DESE=E, 得AB平面SDE, 所以ABSD, SD与两条相交直线AB、SE都垂直, 所以SD平面SAB. (6分)()由AB平面SDE知, 平面ABCD平面SDE. 作SFDE, 垂足为F, 则SF平面AB
6、CD, SF=. 作FGBC, 垂足为G, 则FG=DC=1. 连结SG, 则SGBC. 又BCFG, SGFG=G, 故BC平面SFG, 平面SBC平面SFG. (9分)作FHSG, H为垂足, 则FH平面SBC. FH=, 即F到平面SBC的距离为. 由于EDBC, 所以ED平面SBC, E到平面SBC的距离d也为. 设AB与平面SBC所成的角为, 则sin =, =arcsin. (12分)解法二:以C为坐标原点, 射线CD为x轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设D(1, 0, 0), 则A(2, 2, 0)、B(0, 2, 0). 又设S(x, y, z), 则x0
7、, y0, z0. ()=(x-2, y-2, z), =(x, y-2, z), =(x-1, y, z), 由|=|得=, 故x=1. 由|=1得y2+z2=1, 又由|=2得x2+(y-2)2+z2=4, 即y2+z2-4y+1=0, 故y=, z=. (3分)于是S, =, =0, =0. 故DSAS, DSBS, 又ASBS=S, 所以SD平面SAB. (6分)()设平面SBC的法向量a=(m, n, p), 则a, a, a=0, a=0. 又=(0, 2, 0), 故(9分)取p=2得a=(-, 0, 2). 又=(-2, 0, 0), cos=. 故AB与平面SBC所成的角为a
8、rcsin. (12分)3.答案 4.解法一:()在平面OAB内作ONOA交AB于N, 连结CN. 在AOB中, AOB=120且OA=OB, OAB=OBA=30. 在RtAON中, OAN=30, ON=AN. 在ONB中, NOB=120-90=30=OBN, NB=ON=AN. 又AB=3AQ, Q为AN的中点. 在CAN中, P, Q分别为AC, AN的中点, PQCN. 由OAOC, OAON知:OA平面CON. 又NC平面CON, OACN. 由PQCN, 知OAPQ. ()连结PN, PO. 由OCOA, OCOB知:OC平面OAB. 又ON平面OAB, OCON. 又由ONO
9、A知:ON平面AOC. OP是NP在平面AOC内的射影. 在等腰RtCOA中, P为AC的中点, ACOP. 根据三垂线定理, 知:ACNP. OPN为二面角O-AC-B的平面角. 在等腰RtCOA中, OC=OA=1, OP=. 在RtAON中, ON=OAtan 30=, 在RtPON中, PN=, cosOPN=. 解法二:()取O为坐标原点, 以OA, OC所在的直线为x轴, z轴, 建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示). 则A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B. P为AC的中点, P. =, 又由已知, 可得=. 又=+=. =-=, =(1, 0, 0)=0. 故
10、. ()记平面ABC的法向量n=(n1, n2, n3), 则由n, n, 且=(1, 0, -1), 得故可取n=(1, , 1). 又平面OAC的法向量为e=(0, 1, 0). cos=. 二面角O-AC-B的平面角是锐角, 记为, 则cos =. 4.答案 5. 解法一:()取CD中点O, 连OB, OM, 则OBCD, OMCD. 又平面MCD平面BCD, 则MO平面BCD, 所以MOAB, A、B、O、M共面. 延长AM、BO相交于E, 则AEB就是AM与平面BCD所成的角. OB=MO=, MOAB, 则=, EO=OB=, 所以EB=2=AB, 故AEB=45. 直线AM与平面
11、BCD所成角的大小为45. ()CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由()知, O是BE的中点, 则BCED是菱形. 作BFEC于F, 连AF, 则AFEC, AFB就是二面角A-EC-B的平面角, 设为. 因为BCE=120, 所以BCF=60. BF=BCsin 60=, tan =2, sin =. 所以, 所求二面角的正弦值是. 解法二:取CD中点O, 连OB, OM, 则OBCD, OMCD, 又平面MCD平面BCD, 则MO平面BCD. 以O为原点, 直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系如图. OB=OM=, 则各点坐标分别为O(0, 0, 0), C(1
12、, 0, 0), M(0, 0, ), B(0, -, 0), A(0, -, 2), ()设直线AM与平面BCD所成的角为. 因=(0, , -), 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则有sin =cos=, 所以=45. 直线AM与平面BCD所成角的大小为45. ()=(-1, 0, ), =(-1, -, 2). 设平面ACM的法向量为n1=(x, y, z), 由得解得x=z, y=z, 取n1=(, 1, 1). 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则cos=. 设所求二面角为, 则sin =. 所以, 所求二面角的正弦值是. 5.答案 6.解法一:()因为PD
13、平面ABCD, BC平面ABCD, 所以PDBC. 由BCD=90, 得BCDC. 又PDDC=D, PD平面PCD, DC平面PCD, 所以BC平面PCD. 因为PC平面PCD, 所以PCBC. ()连结AC. 设点A到平面PBC的距离为h. 因为ABDC, BCD=90, 所以ABC=90. 从而由AB=2, BC=1, 得ABC的面积SABC=1. 由PD平面ABCD及PD=1, 得三棱锥P-ABC的体积V=SABCPD=. 因为PD平面ABCD, DC平面ABCD, 所以PDDC. 又PD=DC=1, 所以PC=. 由PCBC, BC=1, 得PBC的面积SPBC=. 由V=SPBCh
14、=h=, 得h=. 因此, 点A到平面PBC的距离为. 解法二:建立如图所示空间直角坐标系D-xyz, 则P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0). ()=(0, 1, -1), =(-1, 0, 0). =0(-1)+10+(-1)0=0, PCBC. ()设平面PBC的法向量n=(x, y, z), 则有即令y=1得n=(0, 1, 1). 又因为A(1, -1, 0), =(0, 2, 0), 所以点A到平面PBC的距离d=. 解法三:()取AB中点E, 连DE, 则DEBC, DE面PBC, 则A点到面PBC的距离等于E点到面PBC距离的2倍, 即等于点到面PBC距离的2倍. 过D作DHPC, 则DH面PBC. 在RtPCD中, DH=, A到面PBC的距离为. 6.答案 7.解法一:()连结A1B, 记A1B与AB1的交
