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1、2019年竞赛与自主招生专题第十一讲三角综合提升从2019年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差别 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，三角是一个极其强大且非常重要的内容，在代 数与几何中都占据着非常重要的地位，有着十分丰富的应用。在自主招生中，三 角的热点问题是：三角函数的化简与求职，解三角形，三角函
2、数的而图形与性质。 不过难度并不大，主要以基础内容为主。一、知识精讲一.两角和、差的三角公式：1. 正弦：sin(A = B)=sinAcosBcosAsin B2. 余弦：cos（A 二 B） =cosAcosB+si n As in B3.正切:tan（ A 士 B）tan A 士 tan B1 + ta n Ata nB正弦、余弦的引导公式：奇变偶不变，符号看象限n、，i（1）2si not, n 为偶数 v）二 n二（-1） 2 cost, n为奇数nn二（_1）2cos 二，n为偶数costy ：）二nJ（-1） 2 sin ： , n为奇数三二倍角公式:2 2 2 21. 余弦：c
3、os2： = cos :-sin : = 2cos ：-T=1-2sin :2. 正弦：sin 2： =2sin : cosj、(3)正切:tan 2：二2tan :-21 - tan :-四.辅助角公式：a si nt b co . a2 b2 si n（？】）（ta n =-）a?注意：Asin x Bcosx 二 C 有实数解二 A2 B C2五.半角公式(万能公式)：六正弦定理:七.余弦定理:1 COS:sintan1 - cos.：sin 二otcot -2asin A；1 - COS-：b csin Bsin C1 cos：sin 二-2R1 cos s cos 2 , 2si n
4、ot1 cos:si not1 - cos 二(R为三角形外接圆的半径)2a -2cacosB2 2 2a b c2bccosA.2 2b cc2 = a22b -2abcosC11bcsin Acasin B221 Sabs inC2三角这个章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自 主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下： 一.三倍角公式：八三角形面积公式:3sin 3：二 3sin-4sin :-，2 1cos3： = 4cos : -3cos ; sin : sin(60 亠：)sin(60 -:- )sin 3、:41cos： cos(600 =)c
5、os(600 y)cos3 ：，4tan： tan(6O0 也)tan(6O0) =tan3：。?注意：利用三倍角公式能够推导出sin18这个特殊值：令:=18，则sin 3： - cos2 ,3sin ： -4sin 3:-=1 - 2sin 2 ： ，(sin ： -1)(4sin2 口 2sin ： -1) = 0。显然 sin ： = 1，sin4(舍去负根)。二. 常见三角不等式：1. 若 x (0, 3)，则 sin x ： x tan x ;2. 若 x (0,)，则 1 ： sin x cosx 乞 2.23. |sin x| |cosx|亠1 .三. 和差化积与积化和差公式：
6、 积化和差和差化积.R n . 0( + P 0( -Psi na +si nQ =2sincos2 2ty0( + P0( -Psi na si nP =2cossin2 2R - a +P a - PCOSa +COS 戸=2C0SCOS2 2f.a + P a - Pcosa cosP -2sinsin2 22si n AcosB=s in (A 十 B)+si n(A B)2cos A cos B = cos( A + B) + cos( A - B)2si n As in B = cos(A - B) _cos(A+ B)四三角形中的一些三角恒等式： 在 ABC中, sin A si
7、n B sin C =4cos cos B cosC ；2 2 2 cos A cosB cosC =1 4si n -s in Bs in C ；2 2 2 sin A sin B sin C = 2 2cos A cos B cosC ; cos2 A +cos2 B +cos2 C =1 -2cos A cos B cosC ;2 A 2 B 2 CA.B.C sin sin sin 12si n sin sin ；2 2 2 2 2 22 A 2 B 2 CA.B.C cos cos cos 2 2sin sin sin ；2 2 2 2 2 2 tan A tan B tan C =
8、 tan A tan B tan C ； cot A cot B cot A cotC cot B cot C = 1 ； cot A cot B cot C = cot cot B cot C ；2 2 2 2 22 tan tan B tan B tan C tan C tan = 1。2 2 2 2 2 2以上十个式子中，前六个式子可由降幕公式、和差化积、积化和差得到。式与式是等价的，式与式也是等价的。这里尤其值得一提的是式:tan A tanB tanC二tan A tanB tanC。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起充足的注重。?注意：锐角ABC中，任意一个
9、角的正弦大于另一个角的余弦，如 si nA cosB。JI事实上，由 A + B = A 兀Bn s in A si n 江B2 2 12 丿=cosB，即得。由此对任意锐角 ABC，总有 sin A si n B si n C cos A cosB cosC。 五三角恒等式：n I 丨 COS匚 二 COS COS cos COS；心 2k 2 4 82nsin :n2 sin- 2n cos(x kd) =cosx cos(x d)k亠cos(x nd)二sin(n 1)d)cos(x nd)sin dn sin(x kd)二 sin x sin(x d) sin(x nd)k z0sin
10、(n 1)d) sin(x nd)sin dtan(= n )二tan ： tan ： tan - tan ： tan tan1 - tan ： tan ： - tan tan - tan tan:、典例精讲例1. （2019 “卓越联盟”）函数v = cs=（二R）的值域是2 +sin H?分析与解答：本题的方法很多，现提供如下几种解法解法一： 2y ysi nr- cost, 2y = cost - y si nr - V y cos(v :)。由 |cos(=：)1,故 2|y-1 - y2 , = y1 -t21 t2解法二：令 tan t,t (-二，=)，则 y 二222 + 2t
11、2t2 + 2t + 22 21 t2口，再用判别式法,求得y 一孑，彳解法三：数形结合法cossin 二 2扁 e，可看成是圆x2 八1上的点到（-2，。）的斜率，由解析几何相关知识，可得解法四：导数法。一sin 二(2 sin 二)一cos cos(2 +sin 日)2-1 - 2sin n(2 siZ)2令y1,cos2从而有厂w，解法五y2=Is in 日+2.丿(s in 日+2)2-t4t -3律 4亠（一3）10t2 tt 3I2枠阳，故T孕织求比。ABf （x） = sin 5xsin x例 2. （2005 复旦）在 ABC中, ta nA:ta n B : ta nC=1:
12、2:3 ,?分析与解答:ABC 中，tan A tan B tanC=tan AtanBtanC。设 tn A =向 B2 報ik 3C =k ,则 6k =6k3,k =0,-1 （舍去），或 k =1 ,即 t a A 二 1 , tBin 2（C tan 故AC s i n B 22oA B s i n C 3例 3. (2019 “北约”)求使得 sin4xsin 2x-sin xsin3x =在0,二)有唯一解的：。、 1 1?分析与解答:=：,x 0,二）,原方程可化为 cos6x-cos2x cos 4x - cos2x2 21 2 （cos4x cos6x） - : sin 5
13、xsin x =:= cos5x cosx , f .一x ；=sin5.-x sin.-x =cos5xcosx。12丿12丿1.2丿即f (x)关于x =?对称，故f (x) - ：在x 0,二)有唯一的解只可能在x = 0或 二取到。2234x=0时，a =0，但此时x , 时均有f(x)=0，即解不唯一；5 555n,x=2时，a =1，此时解唯一，符合要求。综上，a = 1。例 4.(2019“北约”)UBC 的三边a、b、c满足 a 2c，A、B、C 为BC 的内角。求证：C空600。?分析与解答:A + B A _ b 解法一，由正弦定理，a b_2c：= sin A sin B _ 2sinCu 2sinB cos AC CA BC h2 2sin cos cos2sin 。而 cos2 2 2注意到A - BC1，所以 2 sin 1。2C所以厂300，所以-6。0。2fa + b)
