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1、-二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
2、向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处
3、，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字左加右减，上加下减 方法二：沿轴平移:向上下平移个单位，变成或沿轴平移：向左右平移个单位，变成或四、二次函数与的比拟从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
4、轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；3. 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的
5、关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛
6、物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是左同右异总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，则这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛
7、物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点
8、对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落
9、在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次
10、三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：十一、函数的应用二次函数应用二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。假设求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式
11、，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，*轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。一、二次函数的定义例1、函数y=(m1)*m2 +1+5*3是二次函数，求m的值。练习、假设函数y=(m2+2m7)*2+4*+5是关于*的二次函数，则m的取值围为。二、五点作图法的应用 例2. 抛物线，1用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图2假设该抛物线与*轴的两个交点为A、B，求线段AB的长1、2009抛物线的顶点坐标为A-2，7 B-2，-25 C2，7 D2，-92、(2009年)抛物线
12、的对称轴是直线 ABCD3、2009年把二次函数用配方法化成的形式 三、及的符号确定例3. 抛物线如图，试确定： 1及的符号；2与的符号。1、2009年市二次函数的图象如下图，有以下四个结论：，其中正确的个数有 A1个B2个C3个D4个2、2009年市二次函数的图象如下图，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是 ABCD11O*y y*O113、2009年枣庄市二次函数的图象如下图，则以下关系式中错误的选项是 Aa0Bc0C0D04、2009年庆阳图12为二次函数的图象，给出以下说法：；方程的根为；当时，y随*值的增大而增大；当时，其中，正确的说法有请写出所有正确说法的序号5、(2009年)=
13、次函数ya*+b*+c的图象如图则以下5个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab中，其值大于0的个数为 A2 B 3 C、4 D、5四、二次函数解析式确实定例4. 求二次函数解析式： 1抛物线过0，2，1，1，3，5； 2顶点M-1，2，且过N2，1；3抛物线过A1，0和B4，0两点，交y轴于C点且BC5，求该二次函数的解析式。练习：根据以下条件求关于*的二次函数的解析式（1） 当*=3时，y最小值=1，且图象过0，7（2） 图象过点0，21，2且对称轴为直线*=（3） 图象经过0，11，03，0五、二次函数与*轴、y轴的交点二次函数与一元二次方程的关系例5、 抛物线y*2-2*-8，1求证：该抛物线与*轴一定有两个交点；2假设该抛物线与*轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。1、二次函数y*2-2*-3图象与*轴交点之间的距离为2、 如下图，二次函数y*24*3的图象交*轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.13、假设二次函数y(m+5)*2+2(m+1)*+m的图象全部在*轴的上方，则m 的取值围是六、直线与二次函数的问题例6 ：二次函数为y=*2*+m，
