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1、极值点偏移问题总结判定方法1极值点偏移的定义对于函数y f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点X。，方程f (x)0的解分别为Xp x2，且 aXiX2b，(1) 若冬X2 x0，则称函数y f(x)在区间(Xi，X2)上极值点Xo偏移；2(2) 若空X2 x0，则函数y f (x)在区间(xi, X2)上极值点Xo左偏，简称极值点Xo2左偏；(3) 若Xo，贝U函数y f(x)在区间(Xi,X2)上极值点Xo右偏，简称极值点Xo2右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1 对于可导函数y f (x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点xo，方程f (x) o的解分别为Xi、X2，且a
2、Xi X2 b，(1) 若f(XX2) o,则( )xo，即函数y f (x)在区间(Xi，X2)上极大(小)值点Xo右(左)偏；(2) o 若 f(Xi x2) o，则 Xi x2 ( )Xo，即函数 y f(x)在区间(Xi，X2)上极大2 2(小)值点xo左(右)偏。证明：(i)因为可导函数y f (x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点xo，则函数y f (x)的单调递增(减)区间为(a,xo)，单调递减(增)区间为(xo,b)，又 axix2b，有X2(a,b)由于f(X1X2)o，故匹X2(a,xo)，所以2 2 2乞 ( )Xo，即函数极大(小)值点Xo右(左)偏。2判定
3、定理2对于可导函数y f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点 沧，方 程f(x) 0的解分别为xX2，且a Xi X2 b ,(1) 若 f(xj f (2xo X2)，则 一X2 ( )xo 即函数 y f (x)在区间(xi, X2)上极2 ,大(小)值点Xo右(左)偏；(2) 若 f(xjf(2xoX2)，则XiX2()Xo即函数 y f(x)在区间(Xi，X2)上极2大(小)值点Xo左(右)偏。证明：(1)因为对于可导函数y f (x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点xo， 则函数y f (x)的单调递增(减)区间为(a,xo)，单调递减(增)区间为(xo,b)，又
4、 aXiX2b，有X!Xo，且 2xoX2Xo，又 f (xjf (2xX2)，故Xi( )2XoX2，所以空X2 ( )xo，即函数极大(小)值点Xo右(左)偏.2结论(2)证明略。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1方法概述：(1) 求出函数f(x)的极值点；(2) 构造一兀差函数 F(x) f (xo x) f (xo x)(3) 确定函数F(x)的单调性；(4) 结合F(o)o，判断F(x)的符号，从而确定f(xo x), f(xo x)的大小关系。2抽化模型答题模板：若已知函数f (x)满足f (X1) f (X2)， Xo为f (x)的极值点，求证：X1 X2 2xo(1)讨论函
5、数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点Xo ；假设此处f (X)在，Xo上单调递减，在Xo,上单调递增。(2)构造 F(x) f (Xo x) f (Xo x)；注：此处根据题意需要还可以构造成 F(x) f(x) f (2xo x)(3) 通过求导F(x)谈论F(x)的单调性，判断处F(x)在某段区间上的正负，并得出f (xo x)与f(Xo x)的大小关系；假设此处F(x)在0,上单调递增，那么我们便可以得出F (x)F (0)f (xo)f (xo) 0，从而得到：x xo 时，f (xo x) f (xox)(4) 不妨设Xi xoX2，通过f (x)的单调性，f(Xi)f(X2)，
6、 f (xox)与f (xox)的大小关系得出结论；接上述情况：由于XXo 时，f (XoX)f (Xo X)且 Xi Xo X2，f (Xi) f)故f(Xi)f (X2) f Xo X2Xo f Xo(X2Xo)f (2Xo X2)，又因为 XiXo , 2Xo X2 Xo 且f (x)在，Xo上单调递减，从而得到Xi 2xo X2，从而Xi X2 2xo得证；(5) 若要证明f() o还需进一步讨论 乞上与Xo的大小，得出 乞吕所在的单调2 2 2区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为xi x2 2xo故兀X2 xo，由于f (x)在 ，沧上单调递减，2
7、故 f(Xl X2) o2说明：(1) 此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2) 此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求 f(x)的单调性、极 值点，证明f(Xo X)与f(Xo X)或f(x)与f(2Xo X)的大小关系；若试题难度较大，则直接 给出形如Xi X2 2xo或者凶 互xo的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问2分解为三问逐步解题。三、例题(一) 不含参数的的极值点偏移问题例i： (20i0天津理2i)已知函数f (x) xe X(x R)解答:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若 x1 x2，且 f (x1) f (x2
8、)，求证:XiX2【法一】(1) f (x)x，f(x)0,x,11,极大值f (1)-e(2) g(x)f(1x)f(1 x)g(x) xe(1 x)g(x)0,x,0减;0,x 0时,g(x) g(0) 0 即 f(1x) f(1x)-X1X2，不妨设X1 X2，由(1)知 X1 1,X21，f(xj f(X2)f 1x21(X21) f (2X2) X21,2 X21 ，f(x)在,1上增,【法二】欲证X1X22，即证由法一知0 X11,X2又因为f (x)在1,又因为f(xj f(X2)，构造函数h(x)f(x)由 h(x)f(x)f (2即x1X2X2，x12X22X11，故 2 X
9、1 1上是单调递减的，只需证故也即证f(xjf (2 X1)f(2 x)，x 0,1、1 X A 2x 2x) 厂1 eef(X2)f(2 X1),h(x)在0,1上单调递增，h(x) h(1) 0故原不等式x, x2 2成立【法三】由 f (x,)f(X2)得，XiexiX2ex2，化简得ex2x1竺 Xi不妨设 X2xi，由法一知 0xi1x2，令 tx2xi，则 t0，X2txi，代入得：e -_Xi，反解出：人 ，则xi x2 2xi tt，人e ie i故要证xi X2 2即证徃 t 2，又因为e1 i 0，e i等价于证明：2t t 2 e i 0构造函数 g(t) 2t t 2
10、ef i t 0，则 g(t) t i d i， g (t) te 0，故g(t)在0,+ 上单调递增，g(t) g(0) 0从而g(t)在0,+ 上单调递增，g(t) g(0) 0【法四】由 f(Xi)f(X2)得，XiexiX2eX2，化简得eX2Xi翌 ，Xi两边同时取以e为底的对数：得X2 xiIn Xi，In x2X2In xiXiIn x2In xi从而xix2儿 x2X2 .2 +iXiX2.X2Xi.X2In -InX2XiXi匹iXiXiXiIn x2令t生t i，则欲证Xi X2Xi2等价于证明HInt 2,2由于t i Int对t i,恒成立，故h(t) 0，2由于t i
11、 Int对t i,恒成立，故h(t) 0，构造 g(t) -i I nt, t it it i2由于t i Int对t i,恒成立，故h(t) 0，2由于t i Int对t i,恒成立，故h(t) 0，则 g(t)t2 i 2tI nt又令 h(t) t2 i 2tInt t i 贝U h(t) 2t2ln t i2 t i Int ，2由于t i Int对t i,恒成立，故h(t) 0，2h(t)在1,上单调递增，h(t) h(1) 0，g(t) 0对t 1,恒成立，g(t)在1, 上单调递增，g(t) g(1)由洛必达法贝U知： lim g(t) lim 一1-lnt lim t 1t 1
12、 t 1t 1 t 1 即g(t) 2，即证式成立，也即原不等式成立例 2: (2013 湖南文 21) f(x) ex ,1 x(1) 求函数的单调区间；(2) 证明：当 f(x1) f(X2)(X1 X2)时，X1 X2 0(二) 含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元X1,X2基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决， 或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例1已知函数f (x) x aex有两个不同的零点为兀，求证：为X2 2例2.已知函数f (x) lnx ax，a为常数，若函数f (x)有两个
13、不同的零点乂,刈，求证：x1 x2 e2例3:已知x1, x2是函数f(x) ex ax的两个零点，且x1 x2(1) 求证：x1 x22(2) Xi X21例 4:已知函数 f (x) xeax(a0)，若存在xi,x2(xiX2)，使 f(xi)f(X2)0,求证：xaeX2变式训练：1. 设函数f(x)ex ax a(a R)的图像与x轴交于A知0,Bx?,。Xix?两点，(1) 证明：f0xx2) o(2) 求证：xix2 xi x22. 设函数f(x) alnx bx2，其图像在点P 2, f (2)处切线的斜率为 3，当a 2时，令g(x) f (x) kx，设Xi, X2 ( Xi X2)是方程g(x) 0的两个根，xo是Xi,X2的等差中 项，求证：g(Xo) 0i3. 已知函数 f(x) a lnx(a R)x(1) 若a 2，求函数f(x)在i,e2上的零点个数；(2) 若 f (x)有两零点Xi ,X2(XiX2)，求证：2XiX23eai i14. 已知函数 f (x)x2 i a x alnx2(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 设 a 0，证明：0 x a 时，f (
