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1、例12015年成都市中考第28题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax22ax3aav0与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.1直接写出点A的坐标，并求直线I的函数表达式其中k、b用含a的式子表示；52点E是直线I上方的抛物线上的动点，假设ACE的面积的最大值为4，求a的值；3设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的思路点拨1. 过点E作x轴的垂线交AD于F，那么AEF与厶CEF是共底的两个三角形.2. 以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，
2、对角线AP=QD;当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等.总分值解答1由y=ax22ax3a=a(x+1)(x3),得A(1,0).由CD=4AC,得xd=4.所以D(4,5a).由A(1,0)、D(4,5a),得直线l的函数表达式为y=ax+a.2如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F.设E(x,ax22ax3a),F(x,ax+a),那么EF=yEyF=ax23ax4a.1由SACE=SaAEFSaCEF=2EF(XeXa)1EF(Xe2Xc)11213225=EF(XcXa)=2(ax23ax4a)=一2a(x-)8a,得厶ACE的面积的最大值为25a.解方程空a5，得a288453已
3、知A(1,0)、D(4,5a),Xp=1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：如图2，如果AD为矩形的边，那么AD/QP,AD=QP，对角线AP=QD.由xdxa=xpxq，得xq=4.当x=4时，y=a(x+1)(x3)=21a.所以Q(4,21a).由yDyA=ypyQ,得yp=26a.所以P(1,26a).由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2.整理，得7a2=1.所以a匹.此时P(126).77如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等.由xd+xa=xp+xq,得xq=2.所以Q(2,3a).由yD+yA=yp+yQ，得yp=8a.所以P(1,8a
4、).由AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.1整理，得4a2=1.所以a.此时P(1,4).2考点伸展第3题也可以这样解.设P(1,n).如图解得n2，当AD时矩形的边时，/QPD=90，所以AMMD所以Q(4,-).aDNNP，即丄5a5an3匕邑.所以P(1,3旦).aa将Q(4,3)代入y=a(x+1)(x3),得a21a.所以a如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,3a).-.解得3a5a由/AQD=90，得AGQK即一GQKD3例22014年陕西省中考第24题如图1,已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(3,0)和B(0,3)两点.将这条抛物线的顶点记为
5、M，它的对称轴与x轴的交点记为N.1求抛物线C的表达式；2求点M的坐标；3将抛物线C平移到抛物线C,抛物线C的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？、$BfAN图1思路点拨抛物线在平移的过程中，MN与MN保持平行，当MN=MN=4时，以点M、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形.2平行四边形的面积为16,底边MN=4,那么高NN=4.3. MN=4分两种情况：点M在点N的上方和下方.4. NN=4分两种情况：点N在点N的右侧和左侧.总分值解答1将A(3,0)、B(0,3)分别代入y=x2+bx
6、+c,得93bc0,c3.解得b=2,c=3.所以抛物线C的表达式为y=x22x+3.2由y=x22x+3=(x+1)2+4,得顶点M的坐标为(一1,4).3抛物线在平移过程中，MN与MN保持平行，当MN=MN=4时，以点M、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形.因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN=4.那么以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNNM如图2;抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNNM如图2;抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN如图3;抛物线C先向左平移4个单位，再向下
7、平移8个单位得到平行四边形MNMN如图3.考点伸展此题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D,那么MMN的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4,MMD是等腰三角形，由M(1,4)、M(1+m,4),可得点D的横坐标为m22所以m_2代入y=(x+1)2+4，得y22S1zmS=m(244)-m32m.22mm,4.所以DH=4.44例32013年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(0,1)、B(4,3)两点.1求抛物线的解析式；2求tan/ABO的值；3过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，
8、假设四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.思路点拨1. 第2题求/ABO的正切值，要构造包含锐角/ABO的角直角三角形.2. 第3题解方程MN=yMyN=BC,并且检验x的值是否在对称轴左侧.总分值解答1将A(0,1)、B(4,3)分别代入y=x2+bx+c,得c11解得b9c=1.164bc3.2所以抛物线的解析式是y29xx122在RtBOC中，OC=4,BC=3,如图2,过点A作AH丄OB,垂足为H.在RtAOH中，OA=1,sinAOH所以AHOAsinAOH45 .所以OH3,BHOBOH2255在RtABH中，tanAHABO-4BH513直线AB的解析式为yx1.22 设点M
9、的坐标为(x,x2-x1)，点N的坐标为(xx1),2那么MN(x29x1)(丄x1)x24x.22当四边形MNCB是平行四边形时，MN=BC=3.解方程一x2+4x=3，得x=1或x=3.如图3.因为x=3在对称轴的右侧如图4所以符合题意的点M的坐标为(1-9)2图3图4考点伸展第3题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN=yMyN或MN=yNyM.由yNyM=4xx2,解方程x24x=3,得x2.7如图5.所以符合题意的点),(2如图1，在RtABC中，/C=90,
10、AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒t0.1直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=;2是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？假设存在，求出t的值；假设不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度匀速运动，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；3如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长.图1图2思路点拨1.菱形PDBQ必须符
11、合两个条件，点P在/ABC的平分线上，PQ/AB.先求出点P运动的时间t，再根据PQ/AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度.2探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径.总分值解答1QB=82t,PD=4t.32如图3，作/ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ/AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.R过点P作PE丄AB，垂足为E,那么BE=BC=8.在RtABC中，AC=6,BC=8，所以AB=10.在RtAPE中，cosA些-3，所以t10.APt53610当PQ/AB时，CQCP，即C23.解得CQ翌.CBCA869图3所以点Q的运动速度为
12、3210.93153以C为原点建立直角坐标系.如图4,当t=0时，PQ的中点就是AC的中点E(3,0).如图5,当t=4时，PQ的中点就是PB的中点F(1,4).直线EF的解析式是y=2x+6.如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为,t.经验证，点MLJ,t在直22线EF上.考点伸展第3题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t=2时，PQ的中点为(2,2).设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),9a3bc0,得abc4,解得a=0,b=2,c=6.4a2bc2.所以点M的运动路径的解析式为y=2x+6.如图1,在平面直角坐标系中
13、，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC于点E.1直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；2过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？3在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内包括边界存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.图1思路点拨1. 把ACG分割成以GE为公共底边的两
14、个三角形，高的和等于AD.2. 用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.3. 构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.总分值解答y=a(x1)2+4,1A(1,4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为代入点C(3,0)，可得a=1.所以抛物线的解析式为y=(x1)2+4=x2+2x+3.2因为PE/BC，所以竺坐2.因此PE1APPEBC2所以点E的横坐标为1丄t.2将x111代入抛物线的解析式,2y=(x1)2+4=4丄t2.4所以点G的纵坐标为4-12.于是得到GE41.24(4t)(4t)-t2t.4因此SACGSAGESCGEGE(AFDF)所以当t=1时，ACG面积的最大值为1.12-t411(t22)1.3t20或t20851
