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1、椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1（0,1）、F2（0,1）, P是椭圆上一点，并且PF1+PF2= 2F1F2，求椭圆的标准方程。解：由 PF1 + PF2 = 2FF2 = 2X2 = 4 , 得 la- 4.又 c= 1 ,所以 bi = 3.12所以椭圆的标准方程是+=1.2.已知椭圆的两个焦点为F1（-1,0）, F2（1,0），且2a =10,求椭圆的标准方程.解：由椭圆定义知c= 1，.b=. 椭圆的标准方程为+ =1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为A（2,0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准
2、方程.解：（1）当A（2,0）为长轴端点时，a = 2，b = 1，椭圆的标准方程为：兰+ = 1 ；41（2）当A（2,0）为短轴端点时，b = 2，a = 4，椭圆的标准方程为：抒+已=1 ；416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例.求过点（-3,2）且与椭圆+= 1有相同焦点的椭圆的标准方程.解：因为c2 = 9-4 = 5,所以设所求椭圆的标准方程为+ =1.由点（-3,2）在椭 圆上知+=1，所以a2= 15.所以所求椭圆的标准方程为+ = 1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆与直线X + y -1 = 0交于A
3、、B两点，M为 AB中点，om的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为兰+ y2 = 1， a 2X + y -1 = 0/由 x2 一 2a2x = 0，+ y 2 =1I a 2一七心-y _ 1 _ 1 2-/1k m，. a 2 = 4，M兰+ y2 1为所求.4五、求椭圆的离心率问题。例1一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.a 2 勺 113T 2c =x 2 x 3c 2 = a 2 , e = .c3.3 3e =,2得 c 2 = k -1.由 e = 1 ,得 k = 4 .2b 2 = k + 8 ,得 c 2 = 1 -
4、 k .即k=-5.4例2已知椭圆工+二=1的离心率e = L求k的值.k + 8 9-解：当椭圆的焦点在轴上时，a2 = k + 8 , b2 = 9,当椭圆的焦点在y轴上时，a2 = 9由e = 1,得三=1, 294.满足条件的k = 4或k = 5 .4六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若AABC的两个顶点坐标A(-4,0), B(4,0),AABC的周长为18,求顶点 C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A , B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的 轨迹为椭圆，并且2a = 10 ,所以a = 5,2c = 8，所以c = 4 ,所以b2 = a2
5、- c2 = 9 , 故顶点C的轨迹方程为+= 1.又A、B、C三点构成三角形，所以尹0.所以顶点C的轨迹方程为+= 1(y尹0)答案：+= 1(y尹0)2.已知椭圆的标准方程是+=岛5)它的两焦点分别是F F且FF=8 弦Ab过点F,求ABF。的周长12 4a = 4.3 .设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1： PF2 = 2： 1, 求 pf1f2的面积.PFF2 的面积为 PF( PF= X2X4 = 4.七、直线与椭圆的位置问题=1,求过点p1 ,g且被p平分的弦所在的直线方程.V 2 2 J例已知椭圆二+ y2 -2解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为
6、y -12并整理得(+ 2k 2 2 -Gk 2 - 2k + 1 k 2 - k + 3 0 .22由韦达定理得x +x 2k2 -2k.121 + 2k 2. P是弦中点，.x1 +x2= 1 .故得k = -2 所以所求直线方程为2x + 4y -3 - 0.解法二：设过pfL1)的直线与椭圆交于A(x, y )、B(x代入椭圆方程,七)，则由题意得x2 1 1 + y2 = 1, 21x22 + y2 1, 22X + X = 1,Y1 + y2 = 1-一得 X； X2 + y 2 - y 2 212将、代入得比匕 1 x 一 x 2所求直线方程为2x + 4y - 3 0 .八、例
7、椭圆抒+ 21 1的右焦点为F , 16 12小值时解：由已知：a - 4过A作AQ 1L，垂足为Q，交椭圆于M，故MQ = 2|MF| .显然|AM| + 2|mA的最小 值为AQ ,即M为所求点，因此匕yM=龙，且M在椭圆上.故xM - 2捐.所以M(j3,3)Z2, 211椭圆中的最值问题过点A求点M的坐标.C = 2 .所以E = 4,右准线L： X = 8 .2(,3)，点M在椭圆上，当|am + 2|I为最双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论工+圣=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征. 25 - k 9 - k解：(1)当k 0，9 - k 0，所给方程表
8、示椭圆，此匕时。2 = 25 - k，b 2=9 - k，c2 = a2 -b2 = 16，这些椭圆有共同的焦点(4,0),(4, 0).(2)当9 k 0 , 9 - k 0,所给方程表示双曲线，匕匕时，a 2 = 25 - k , b 2 = 9 - k , c 2 = a 2 + b 2 = 16，这些双曲线也有共同的焦点(4, 0),) (4, 0).(3) k 25 , k = 9 , k = 25时，所给方程没有轨迹.二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1) 过点p 3,15, Q-16,5且焦点在坐标轴上.4) 3 )(2) c =斥，经
9、过点(5, 2),焦点在x轴上.(3)与双曲线兰-二=1有相同焦点，且经过点京)解:/UT 164(1)设双曲线方程为E+* = 1 m n.P、Q两点在双曲线上，9 225 1m = -16I= 1m 16n 解得 256 25 1+ =1、9m n.所求双曲线方程为三+21 = 1169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的(2)焦点在x轴上，c项,.设所求双曲线方程为：X2-壬=1 (其中0 x 6 )入 6 一入.双曲线经过点(5, 2),.25-二=1入 6 入.以=5或人=30 (舍去).所求双曲线方程是义-2 2 = 15说明：以上简单易行的方法给我们以明
10、快、简捷的感觉.(3)设所求双曲线方程为：-土 = 1(0人 =,PF 2 + PF 2 = FF 2 = 20121 2PF 2 + PF 2 -2PF|PF = 161 1 21 2A 20 - 2|PFJ|PFJ = 16/. |PF| - |PF| = 2 S =1 PF - PF = 1AF1PF2212五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点F (-5,0)、F(5,0),求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.解根据双曲2线定义，可知所求点的轨迹是双曲线. c = 5 , a = 3b 2 = c 2 a 2 = 52 32 = 42 = 16.所求方程兰-22 = 1为动
11、点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.9 16例P是双曲线X2-22 = 1上一点，F、F是双曲线的两个焦点，且|PF = 17 ,求|PF 64 36121112的值.解：在双曲线兰-= 1中，a = 8 , b = 6，故c = 10.64 36JI=16 -二 |PF又 |PF| c - a = 2,六、求与圆有关的双曲线方程。由P是双曲线上一点，得|PFj - PF =1 或 |PF| = 33 .得 PF2 = 33 .例6求下列动圆圆心m的轨迹方程：(1)与C：(x + 2)2 + y2 = 2 内切，且过点 A(2,0)(2)与C： X2 + (y-1)2 = 1 和C : x2 +(y
12、 + 1)2 = 4都外切.(3)与 C41+ 3)2 + y 2 = 9 外切，且与 C ：(x - 3)2 + y 2 = 1 内切.1 解：设动圆M的半径为：(1)Vq与M内切，点A在C外 |MC| = r - ：2 , MA = r， MA- |MC| = 42.点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：巨 C 77a = , c = 2 , b 2 = c 2 a 2 =22.双曲线方程为2x2 -龙=1Q-而).7(2)Vm与q、C2都外切. MC = r +1, |MC | = r + 2MC |-|MC| = 1.点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：a = , c =
