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1、2016届高考备考冲刺阶段（查缺补漏）试题数学（理科）1.某中学在高二年级开设大学先修课程线性代数，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学间隔的人数为，的分布列为3210求数学期望；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成
2、绩与考核成绩的方差分别记为，试比较与的大小. 解：（1）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为. （2）由题意可得：. 因为 ， 所以 . 所以 . （3）. 2(). 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元额外聘请工人的成本为万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为 （1）
3、若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由【解析】（1）设下周一有雨的概率为，由题意，基地收益的可能取值为，则， ，基地收益的分布列为：201510，基地的预期收益为万元（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元），综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人； 成本低于万元时，外聘工人； 成本恰为万元时，是否外聘工人均可以3. 高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率85,95)95,105)0.050105,115)0.20
4、0115,125)120.300125,135)0.275135,145)4145,155)0.050合计(1) 根据上面图表，处的数值分别为_，_，_，_；(2)在所给的坐标系中画出85,155的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在129,155中的频率解析(1)随机抽出的人数为40，由统计知识知处应填1；处应填0.1；处应填10.0500.10.2750.3000.2000.0500.025；处应填0.025401.(2)频率分布直方图如图(3)利用组中值算得平均数：900.0251000.051100.21200.31300.2751400.11500.051
5、22.5；总体落在129,155上的频率为0.2750.10.050.315.4. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼 的时间（分钟） 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均课外课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”（）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？ 课外体育不达标课外体育达标合计男 女 20110 合计 （）将上述调查所得到的频率视为概率现在
6、从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望和方差参考公式：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828参考数据： 解答：（） 课外体育不达标课外体育达标合计男 603090女9020110合计15050200 5分所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关6分（）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率， 8分 12分5().某市环保知识竞赛由甲乙两支代表队进行总决赛，每队各有
7、3名队员，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或者不答都得0分，已知甲队3人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分。（1）求随机变量的分布列及其数列期望； （2）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率。解：（1）由题设知的可能取值为0，1，2，3， 所以分布列为： 0123 4分数学期望E（）=0+1+2+3=6分（2）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则 8分 10分 12分6().已知四棱锥,底面是直角梯形，,， 是边长为的等边三角形，（）求证：平面；E（）若点为中点,
8、求二面角的余弦值解答：（）是边长为的等边三角形, 底面是直角梯形， 又又 6分（）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则 取 8分为中点，则，设平面的法向量为，则取 10分由二面角的余弦值为 12分7. 如图，菱形ABCD中，ABC = 60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB = AE = 2。（1）求证：BD平面ACFE；（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45时，求CF的长度。（）证明：四边形是菱形， .平面,平面 ., 平面.4分（）解：如图以为原点，为轴正向，轴过且平行于，建立空间直角坐标系.则
9、，.6分设平面的法向量为，则有，即令， .8分由题意解得或.由，得 . .12分8.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PCD=90，PA=AB=AC（1）求证：ACCD；（2）点E在棱PC上，满足DAE=60，求二面角BAED的余弦值 解答： （1）证明：因为PA底面ABCD，所以PACD， 因为PCD=90，所以PCCD， 所以CD平面PAC，所以CDAC；（2）解：底面ABCD是平行四边形，CDAC，ABAC 又PA底面ABCD，AB，AC，AP两两垂直 如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向、以|为单位长度，建立空间直角坐标系 则B（1，0，0），C（0
10、，1，0），P（0，0，1），D（1，1，0） 设=（0，1，1），则=+=（0，1）， 又DAE=60，则cos，=， 即=，解得= 则=（0，），=（1，）， 所以cos，= 因为=0，所以 又，故二面角BAED的余弦值为 9().如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，过作平面平行于，交AB于D点， （1）求证：（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。（1)证：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1中点，-2分BC1平面A1CD，DEBC1， -4分 D为AB的中点，又，-6分(2) -7分又 ，又 -8分设BC的中点为O，的中点为，以
11、O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.9分则，.-10分平面的一个法向量所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为-12分10. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，EFAD ，平面 ADEF 平面 ABCD，且BC = 2EF ， AE = AF ，点G 是EF 的中点。（1）证明： AG 平面ABCD 。（2）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长。（3）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG平面ABF ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 11().已知直线为参数), 曲线 （为参数）. (I)设与相交于两点,求； (II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
