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1、5.3 5.3 5.3 5.3 叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角1.1.1.梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况L LL /2 22F FFL LL /2 22m mmL LL /2 22L LL /2 22L LL q qq 简支梁简支梁简支梁简支梁简支梁简支梁 抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为 EI EI EI 1 1F FFL LL q qqL LL m mmL LL 5.3 5.3 5.3 5.3 叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的
2、挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角 悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁 抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为抗弯刚度为 EI EI EI 1.1.1.梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况梁弯曲的典型情况2 2B BBA AAF FFa aa 2 22a aa 2 22B BBA AAF FFa aa 2 22a aa 2 22例例例例例例 求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为 EIEIEI 的悬臂梁自由端的挠度和转角。的悬臂梁自由端的挠度和转角。的悬臂梁自由端的挠度和转角。w ww1 11w ww2
3、 22 3 32.2.2.叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理1 1 1 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为或有变形表可查；、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为或有变形表可查；2 2 2 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。叠加原理：叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作
4、用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。叠加法的特征：叠加法的特征：4 41)1)1)荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组L LL /2 22L LL /2 22q qqm mmL LL /2 22L LL /2 22m mmL LL q qqF FFq qqq qqF FF3.3.3.应用叠加原理的假设干情况应用叠加原理的假设干情况应用叠加原理的假设干情况应用叠加原理的假设干情况应用叠加原理的假设干情况应用叠加原理的假设干情况5 5B BBL L L 2 22L L L 2 22q
5、qq 0 0 0w ww 2 22B BBL L L 2 22L L L 2 22q qq 0 0 0w ww 2 22w ww 3 33 B BBL L L 2 22L L L 2 22q qq 0 0 0L LLq qq 0 0 0w ww 1 11L LLq qq 0 0 0EIEIEIq qq 0 0 0A AAL L L 2 22L L L 2 22例例例例例例求图示自由端的挠度。求图示自由端的挠度。求图示自由端的挠度。6 6F FFA AAEIEIEIa aaa/a/a/2 22C CCB BBF FFA AAB BBC CCw wwF FFA AAB BBC CCw ww1 11
6、F FFA AAB BBC CC变形体变形体刚体刚体w ww1 11FA AAB BBCF FFFa Fa Fa 2 22 w ww1 11F FFA AAB BBC CCw ww1 11F FFA AAB BBC CCw ww1 11w ww2 22F FFA AAB BBC CCw ww1 11w ww2 22F FFA AAB BBC CC刚体刚体变形体变形体w ww1 11w ww2 22F FFA AAw ww2 22B BBC CCF FFA AAB BBC CCw ww C C C 点的挠度，是由点的挠度，是由点的挠度，是由 AB AB AB 段段段变形的影响和变形的影响和变形的
7、影响和 BC BC BC 段变形的影段变形的影段变形的影响共同构成的。响共同构成的。响共同构成的。依据：依据：依据：依据：依据：依据：假设结构可分为假设干局部，且各局部在荷载作用假设结构可分为假设干局部，且各局部在荷载作用假设结构可分为假设干局部，且各局部在荷载作用假设结构可分为假设干局部，且各局部在荷载作用假设结构可分为假设干局部，且各局部在荷载作用假设结构可分为假设干局部，且各局部在荷载作用下的变形不是相互独立的，那么，结构中下的变形不是相互独立的，那么，结构中下的变形不是相互独立的，那么，结构中下的变形不是相互独立的，那么，结构中下的变形不是相互独立的，那么，结构中下的变形不是相互独立的
8、，那么，结构中 A A A 点的位移是各点的位移是各点的位移是各点的位移是各点的位移是各点的位移是各个局部在这一荷载作用下的变形在个局部在这一荷载作用下的变形在个局部在这一荷载作用下的变形在个局部在这一荷载作用下的变形在个局部在这一荷载作用下的变形在个局部在这一荷载作用下的变形在 A A A 点所引起的位移的叠点所引起的位移的叠点所引起的位移的叠点所引起的位移的叠点所引起的位移的叠点所引起的位移的叠加。加。加。加。加。加。2)2)2)逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法7 7A AAF FFEIEIEIEIEIEIa aaa aaA AAF FFv vvA AAA AA
9、F FFv vv1 11 A AAF FFv vv1 11 刚体刚体变形体变形体A AAFv vv1 11 刚体刚体变形体变形体F FFFaFaFaA AAF FFv vv2 22A AAF FF变形体变形体刚体刚体v vv2 22A AAF FFv vvA AA注意：注意：注意：注意：注意：注意：在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯在刚架中，由构件轴向拉压所引起的变形量往往比弯曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。曲所引起的变形量小很多，因此一般可以忽略不计。例例例例例例 求图示求图
10、示求图示 A A A 端的竖向位移。端的竖向位移。端的竖向位移。分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论竖梁压缩对竖梁压缩对竖梁压缩对 A A A 端竖向位移的奉献有多大？端竖向位移的奉献有多大？端竖向位移的奉献有多大？竖梁压缩量竖梁压缩量竖梁压缩量竖梁弯曲的奉献竖梁弯曲的奉献竖梁弯曲的奉献两者之比两者之比两者之比以圆杆为例以圆杆为例以圆杆为例8 8a aaa/a/a/4 44q qqEIEIEIA AA例例例例例例 求如图外伸梁求如图外伸梁求如图外伸梁 A A A 点的竖向位移。点的竖向位移。点的竖向位移。分析分析分析分析分析分析 应将梁划分为两个区段，并将应将梁划分为两个区段，并将应将梁划
11、分为两个区段，并将每个区段的受力化为标准形式。每个区段的受力化为标准形式。每个区段的受力化为标准形式。w ww 1 1 1 1 1 1w ww 3 3 3w ww 2 22 2 2 29 9a aaa/a/a/4 44q qqEIEIEIA AA例例例例例例 求如图外伸梁求如图外伸梁求如图外伸梁 A A A 点的竖向位移。点的竖向位移。点的竖向位移。w ww 1 1 1 1 1 1w ww 2 22 2 2 2w ww 3 3 31010动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔利用已有结果计算利用已有结果计算利用已有结果计算 A A A 点挠度。点挠度。点挠度。a aaa/a/a/2 22m
12、mmEIEIEIA AAa aaa/a/a/2 22m mmEIEIEIA AAa aaa/a/a/2 22m mmEIEIEIA AA1111B BBL LLRAF FFEIEIEIB BBL LLRAF FFEIEIEIB BBL LLRAF FFEIEIEI例例例例例例 长度为长度为长度为 L L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI EI 的的的悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R R 的的的刚性圆柱，刚性圆柱，刚性圆柱，R R R L L L，其自由端受，其自由端受，其自由端受力为力为力为 F F F，求梁的最大挠度。，求梁的
13、最大挠度。，求梁的最大挠度。作用有集中力的悬臂梁作用有集中力的悬臂梁分析分析分析分析分析分析未贴合状态未贴合状态1212B BBL LLRAF FFEIEIEIL LLxRAF FFC CCB BBL LLxRAF FFC CCB BBw ww1 11w ww2 22L LLxRAF FFB BBC CC L LLxRAF FFC CCB BBw ww3 33例例例例例例 长度为长度为长度为 L L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI EI 的的的悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R R 的的的刚性圆柱，刚性圆柱，刚性圆柱，R R R
14、 L L L，其自由端受，其自由端受，其自由端受力为力为力为 F F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。贴合区贴合区未贴合区未贴合区作用有集中力偶矩的悬臂梁作用有集中力偶矩的悬臂梁作用有集中力的悬臂梁作用有集中力的悬臂梁C 点转角点转角贴合区长度贴合区长度w1w3w2已贴合状态已贴合状态分析分析分析分析分析分析最大挠度最大挠度1313B BBL LLRAF FFEIEIEIB BBL LLxRAF FFC CC若若若，梁与圆柱未产生贴合。，梁与圆柱未产生贴合。，梁与圆柱未产生贴合。产生贴合所需要的力产生贴合所需要的力产生贴合所需要的力 F F F：若若若，先考虑贴合区段长
15、度。先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。梁根部挠曲线的曲率半径与梁根部挠曲线的曲率半径与梁根部挠曲线的曲率半径与 R R R 相同，才可能产生贴合。相同，才可能产生贴合。相同，才可能产生贴合。例例例例例例 长度为长度为长度为 L L L，抗弯刚度为，抗弯刚度为，抗弯刚度为 EI EI EI 的的的悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为悬臂梁下方靠着一个半径为 R R R 的的的刚性圆柱，刚性圆柱，刚性圆柱，R R R L L L，其自由端受，其自由端受，其自由端受力为力为力为 F F F，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。，求梁的最大挠度。1414B BBL LLxRAF FFC
16、 CCB BBL LLxRAF FFw ww1 11C CCL LLxRAF FFB BBw ww1 11w ww2 22C CC L LLxRAF FFC CCB BBw ww1 11w ww2 22w ww3 33在在在 C C C 处处处先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。先考虑贴合区段长度。15151 1 1 1梁的刚度条件梁的刚度条件梁的刚度条件梁的刚度条件其中称为许用转角；/L称为许用挠跨比。、校核刚度：、设计截面尺寸；对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于附属地位。特殊构件例外2刚度计算刚度计算、确定外载荷。5.4 5.4 梁的刚度计算梁的刚度计算 在土建工程中，通常对梁的在土建工程中，通常对梁的挠度挠度加以控制，例如：加以控制，例如：梁的梁的刚度条件刚度条件为：为：1616梁的挠度和转角除了与梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载梁的支座和荷载有关外还取决于有关外还取决于下面三个因素下面三个因素：材料材料梁的位移与材料的弹性模量梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；成反比；截面截面梁的位移与截面的惯性矩梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比；成反比；跨长跨长梁的位移与
