《离散数学部分概念和公式总结(考试专用)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学部分概念和公式总结(考试专用)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、命题：称能判断真假的陈述句为命题。命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n1）个命题变项的命题公式，共有2n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。（3）若A至少存在一组赋值是
2、成真赋值，则A是可满足式。主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式AB是重言式，则称A与B是等值的，记作AB。约束变元和自由变元：在合式公式x A和 $x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若AB为逻辑有效式，则称A与B是等值的
3、，记作AB，称AB为等值式。前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2QkxkB，称A为前束范式。集合的基本运算：并、 交、差、相对补和对称差运算。笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为AB。二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系： （2）全域关系：EA= | xA yA = AA（3）恒等关系：IA= | xA（4）小于等于关系：LA=| x, yAxyA ,A R （5）整除关系： R =| x，y x y ,是集合族二元关系的运算
4、：设R是二元关系，（1）R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域domR = x | $y（R）（2）R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR = y | $x（R）（3）R的定义域和值域的并集称为R的域fldR= domR ranR二元关系的性质：自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性。等价关系：如果集合A上的二元关系R是自反的，对称的和传递的，那么称R是等价关系。设R是A上的等价关系，x , y是A的任意元素，记作xy。等价类：设R是A上的等价关系，对任意的xA，令xR= y | yA x R y ，称xR为x关于R的等价类。偏序关系：设R是集合A上的二元关系，如
5、果R是自反的，反对称的和传递的，那么称R为A上的偏序，记作；称序偶为偏序集合。函数的性质：设f: AB，（1）若ranf = B，则称f 是满射（到上）的。（2）若 y ranf 都存在唯一的x A 使得f(x)=y,则称f 是单射（ ）的。（3）若f 既是满射又是单射的，则称f 是双射（ 到上）的。无向图：是一个有序的二元组，记作G，其中：(1) V称为顶点集，其元素称为顶点或结点。(2) E为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边。有向图：是一个有序的二元组,记作D,其中(1) V同无向图。 (2) E为边集，它是笛卡尔积VV的多重子集，其元素称为有向边。设G=是一个无
6、向图或有向图。有限图：若V, E是有限集，则称G为有限图。n阶图：若| V |=n，称G为n阶图。零图：若| E |=0，称G为零图,当| V |=1时，称G为平凡图。基图：将有向图变为无向图得到的新图，称为有向图的基图。图的同构：在用图形表示图时，由于顶点的位置不同，边的形状不同，同一个事物之间的关系可以用不同的图表示，这样的图称为图同构。带权图：在处理有关图的实际问题时，往往有值的存在，一般这个值成为权值，带权值的图称为带权图或赋权图。连通图：若无向图是平凡图，或图中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。否则称为非连通图。设D是一个有向图，如果D的基图是连通图，则称D是弱连通图，若D中任
7、意两个顶点至少一个可达另一个，则称D是单向连通图。若D中任意两个顶点是相互可达的，则称D是强连通图。 欧拉图：通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路（回路），称为欧拉通路（回路）。存在欧拉回路的图称为欧拉图。哈密顿图：经过图中每个顶点一次且仅一次的通路（回路），称为哈密顿通路（回路），存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。平面图：一个图G如果能以这样的方式画在平面上：出定点处外没有变交叉出现，则称G为平面图。画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。 二部图：若无向图G=V, E的顶点集合V可以划分成两个子集V1和V 2（V1V2 =f ），使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V
8、2，则称G为二部图（偶图）。二部图可记为G = , V1和V 2称为互补顶点子集。树的定义：连通无回路的无向图称为无向树，简称树，常用T表示树。平凡图称为平凡树。若无向图G至少有两个连通分支，每个连通都是树，则称G为森林。在无向图中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于2的顶点称为分支点。 树的性质：性质1、设G=是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的： （1）G是树 （2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径 （3）G中无回路且m=n-1.（4）G是连通的且m=n-1. （5）G是连通的且G中任何边均为桥。 （6）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新
9、边的圈。性质2、设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。 证：设T有x片树叶，由握手定理及性质1可知，2(n-1)=d(vi)x+2(n-x)由上式解出x2. 最小生成树：设T是无向图G的子图并且为树，则称T为G的树。若T是G的树且为生成子图，则称T是G的生成树。设T是G的生成树。eE(G)，若eE(T)，则称e为T的树枝，否则称e为T的弦。并称导出子图GE(G)-E(T)为T的余树，记作T。最优二元树：设2叉树T有t片树叶v1,v2,vt，权分别为w1,w2,wt，称W(t)=wil(vi)为T的权，其中l(vi)是vi的层数。在所有有t片树叶，带权w1,w2,wt的2叉树中，权最小
10、的2叉树称为最优2叉树。最佳前缀码：利用Huffman算法求最优2叉树，由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码，用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。蕴含式推理 E1pPE12R(PP)RE2PQQPE13R (PP)RE3PQQPE14R(PP)TE4(PQ)RP(QR)E15R(PP)FE5(PQ)RP(QR)E16PQPQE6P(QR)(PQ)(PR)E17(PQ) PQE7P(QR)(PQ)(PR)E18PQQPE8(PQ) PQE19P(QR)(PQ)RE9(PQ) PQE20PDQ(PQ)(QP)E10PPPE21PDQ(PQ)(PQ)E11PPPE22(PDQ)
11、PDQ等值公式表PQ=P化简式PQ=Q化简式P=PQ附加式P=PQ变形附加式Q=PQ变形附加式(PQ)=P变形简化式(PQ)=Q变形简化式p(PQ)=Q假言推论Q(PQ)=P拒取式p(PQ)=Q析取三段式(PQ) (QR)=PR条件三段式(PDQ) (QDR)=PDR双条件三段式(PQ)(RS)(PR)=QS合取构造二难(PQ)(RS)(PR)=QS析取构造二难PQ=(PR) (QR)前后附加式PQ=(PR) (QR)前后附加式E23(x)(Ax)(Bx)( x)(Ax)(x)(Bx)E30(x)(Ax) B(x) (Ax)B)E24(x)(Ax)(Bx)(x)(Ax)(x)(Bx)E31(x
12、)(Ax) B(x) (Ax)B)E25(x)(Ax)(x)(Ax)E32A(x)(Bx) (x) (A(Bx)E26(x)(Ax)(x)(Ax)E33A(x)(Bx) (x) (A(Bx)E27(x)(A(Bx)A(x)(Bx)I17(x)(Ax)(x)(Bx) =(x)(Ax)(Bx)E28(x)(A(Bx)A(x)(Bx)I18(x)(Ax)(Bx) =(x)(Ax)(x)(Bx)E29(x)(Ax)(Bx)(x)(Ax)(x)(Bx)I19(x)(Ax)(x)(Bx) =(x)(Ax)(Bx)集合恒等式：P61幂等律：AA=A ；AA=A 结合律：(AB)C=A(BC) ；(AB)C=
13、A(BC) 交换律：AB=BA ；AB=BA 分配律：A(BC)=(AB)(AC) ；A(BC)=(AB)(AC) 同一律：Af =A ；AE=A零 律：AE =A ；Af = f排中律：AA=E 矛盾律：AA =ff吸收律：A(AB)=A；A (AB)=A德摩根定律：A-(BC)=(A-B)(A-C)；A-(BC)=(A-B)(A-C)(BC)= BC；(BC)= BC；f=E；E=f双重否定律：（A)=A二元关系的运算：设F,G,H是任意的关系，（1）（F -) -= F （2）dom(F -)=ranF ；ran (F -)=domF（3）（ F G ) H =F (G H ) （4）（ F G ) - =G - F -设R是A上的关系（幂运算）（1）R = | xA （2）R n = R (n-1) R，n1 （3）R R = R R = R图的矩阵表示：（1）无向图的关联矩阵：设无向图G=, V
