《专题42 不等式法求系数最大最小项(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题42 不等式法求系数最大最小项(解析版)（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题42 不等式法求系数最大最小项一、单选题1经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ）A2B3C4D5【答案】C【分析】随机变量，若取得最大值时,则有，求出的值.【详解】由题意，随机变量，若取得最大值时，则: 则，解得，则故选：【点睛】本题考查二项分布的性质和应用，解含组合数的不等式，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.2已知不等式（且）的解集为，则二项式的展开式中系数最大项的系数为（ ）A16B80C240D480【答案】C【分析】按和分类讨论,解出对数不等式并求出的值,设二项式展开式中第项系数最大,则有(),解不等式求出的
2、值并代回可得系数最大项的系数.【详解】由题意，当时，当时，所以.故，因为，系数为正，所以，故展开式中系数最大项的系数为.故选: C.【点睛】本题考查二项式展开式的应用,考查对数函数的性质,考查组合数的计算,考查学生逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.3若的二项展开式中，只有含项的系数最大，则等于（ ）A9B10C11D12【答案】B【分析】根据二项展开式的通项公式，写出通项，再由题意，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为二项式的展开式的第项为，又展开式中，只有含项的系数最大，所以有，即，即，解得，又，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查由系数最大的项求参数的问题，熟记二项式定理即可，属于
3、常考题型.4已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值（ ）ABCD【答案】B【分析】根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，设第项的系数最大，则，即，求得或6，此时，故选：B【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第项的二项式系数与第项的系数之间的关系，属于中档题5在的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项；【详解】二项式展开式为：设系数绝对值最大的项是第项，可得可得，解得在的展开式中
4、，系数的绝对值最大的项为：故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题6若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】计算，计算，根据系数的大小关系得到，解得答案.【详解】，第6项的系数最大，则.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力7若展开式中只有第6项的系数最大，则常数项是（ ）A第5项B第6项C第7项D第8项【答案】B【分析】由条件求得，在其展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，可得常数项，求得结果.【详
5、解】若展开式中只有第6项的系数最大，则，它的展开式的通项公式为：，令，解得，所以常数项是第6项，故选B.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中二项式系数最大项，二项展开式的通项，属于简单题目.8(x+2y)7展开式中系数最大的项是（ ）A68y7 B112x3y4 C672x2y5 D1344x2y5【答案】C【解析】试题分析：设r+1项系数最大，则有C7r2rC7r12r1C7r2rC7r+12r+1，即7!r!(7r)!2r7!(r1)!(7r+1)!2r17!r!(7r)!2r7!(r+1)!(7r1)!2r+1，2r18r17r2r+1，解得r163r1
6、33，又 0r7， r=5系数最大项为6=C75x225y5=672x2y5故应选C考点：二项展开式的通项与系数及组合式的运算.二、多选题9已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ）A展开式中所有项的系数之和为256B展开式中含的一次项为C展开式中有3项有理项D展开式中系数最大项为第3项和第4项【答案】BCD【分析】由题意写出该二项式展开式的通项公式，由等差数列的性质可得；令即可判断A；令，代入即可判断B；令为整数，即可判断C；令，解不等式即可判断D；即可得解.【详解】由题意展开式的通项公式为，所以，解得或（舍去），所以，对于A，令，则，所以展开式中所有项的系数之和为，
7、故A错误；对于B，令即，此时，所以展开式中含的一次项为，故B正确；对于C，若要使为有理项，则为4的倍数，当、时，为有理项，所以展开式中有3项有理项，故C正确；对于D，令，解得，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，合理赋值、细心计算是解决本题的关键，属于中档题.三、解答题10已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）和【分析】（1）先求出，再写出二项式展开式的通项，令即可求解；（2）设第项系数最大，则，即可解得的值，进而可得展开
8、式中系数最大的项.【详解】（1）由题意可得：，得，的展开式通项为，要求展开式中有理项，只需令，所以 所以有理项有5项，（2）设第项系数最大，则 ，即，即，解得：，因为，所以或所以，所以展开式中系数最大的项为和.【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第项的系数大于等于第项的系数，第项的系数大于等于第项的系数，属于中档题11（1）求展开式中系数最大项；（2）求展开式中系数最大项【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题要求二项式中系数最大的项，设出第项系数最大，则这一项不小于它的前一项且不小于它的后一项，列出不等式组，解不等式
9、组，根据是正整数得到结果（2）根据（1）可得展开式系数绝对值最大项，结合系数的正负，即可得出结论【详解】解：（1）设第项系数最大，则有，即，即，且，系数最大项为；（2）展开式中系数的绝对值等于展开式中对应项的系数，根据（1）可得展开式中系数的绝对值为第六项，而第6项的系数为负数，所以展开式中系数最大为第5项或第7项，只需比较和两项系数大小即可，系数最大的项是第五项为【点睛】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键，属于中档题12已知的展开式中前三项的系数成等差数列（1）求的值；（2）如果第项
10、和第项的二项式系数相等，试求的值；（3）求展开项中最大的系数【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7【分析】（1）根据等差数列的性质列出方程求解n；（2）当时，成立；当时，根据二项式的单调性和对称性可列出等式求解k；（3）设第项的系数最大，由求解r的值，代入展开式的通项即可得解.【详解】（1）根据题意，成等差数列，所以，即，或(舍去).（2）当时，即显然成立；当时，由二项式的单调性和对称性得：.（3）设第项的系数最大，则，解得或，所以展开项中系数最大为.【点睛】本题考查二项式定理，含参二项式的相关问题、二项展开式中系数最值问题，涉及等差中项的应用，属于中档题.13在二项式的展开式中.（1）求该
11、二项展开式中含项的系数；（2）求该二项展开式中系数最大的项.【答案】（1）160；（2）.【分析】（1）在通项公式中，令的幂指数等于3，求得的值，可得含项的系数（2）根据，求得的值，可得结论【详解】（1）二项展开式中，通项公式为，令，求得，故含项的系数为.（2）设第项的系数最大，由，解得，故故该二项展开式中系数最大的项为【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题14已知，的展开式的各二项式系数的和等于128，（1）求的值；（2）求的展开式中的有理项；（3）求的展开式中系数最大的项【答案】（1）7；（2），；（3）.【分析】（1）根据的展开式的各二项
12、式系数的和等于求解（2）先得到的展开式中的通项公式，再令为整数求解（3）由通项公式知：第项的系数为直接假设第r+1项系数最大，比前一项大且比后一项大，联立解不等式组即可.【详解】解：（1）已知，的展开式的各二项式系数的和等于，（2）的展开式中的通项公式为，令为整数，可得，3，6，故展开式的有理项为，（3）第项的系数为，且，解得，故，故的展开式中系数最大的项为第6项【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，项的系数，还考查了运算求解的能力；属于中档题.15已知展开式中前三项的二项式系数之和为37，求展开式中：（1）所有x的有理项； （2）系数最大的项【答案】（1），；（2）系数
13、最大的项为和【分析】（1）根据系数和得到，再利用二项式定理计算有理项得到答案.（2）设第项系数最大，则，解得答案.【详解】（1），（舍），令，所有有理项为，.（2）设第项系数最大，则，解得所以系数最大的项为和.【点睛】本题考查了利用二项式定理求有理项，系数最大项，意在考查学生的计算能力和应用能力.16已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，求的展开式中.（1）二项式系数最大的项，（2）系数的绝对值最大的项.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992，即可得到关于的方程：，求出，根据二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项（
14、2）利用两边夹定理，设出第项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于的不等式，即可求解【详解】解：依题意可得，即，解得（1）的展开式中第6项的二项式系数最大（2）设第项的系数的绝对值最大所以故第4项的系数的绝对值最大，【点睛】本题通过赋值法求出，根据二项式系数的性质，同时利用两边夹定理进行求解，属于中档题17在二项式的展开式中，（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（最后结果用算式表达，不用计算出数值）（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项（最后结果用算式表达，不用计算出数值）【答案】(1) 当时，最大项系数为和；当时最大项系数为.(2) .【分析】(1)由成等差数列可求出或，进而可求出展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)由可求出，令
