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1、一、问题提出好身体公司（BFI ）在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家 庭锻炼所广泛使用的举重机。 两种机器都是用了 BFI 专利技术， 这种技术提供给使用者除了 机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。 直到现在，这种功能也只有在很昂贵的、 应用于理疗的举重机上才可以获得。在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI 现在收到的订单数量已经超过了这个时期 BFI 的生产能力。 管理部门决定开始这两种器械的生 产。这两种器械分别被 BFI 公司命名为 BodyPlus100 和 BodyPlus200 ，由不同的原材料 生产而成。Bo
2、dyPlus100 由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架 需要 4 小时机器制造和焊接时间， 2 小时喷涂和完工时间； 每个压力装置需要 2 小时机器制 造和焊接时间， 1 小时喷涂和完工时间， 每个提升一下拉装置需要 2 小时机器制造和焊接时 间，2小时喷涂和完工时间。另外，每个 BodyPlus100 还需要 2 小时用来组装、测试和包 装。每个框架的原材料成本是 450 美元，每个压力装置的成本是 300 美元，每个提升一下 拉装置是 250 美元。包装成本大约是每单位 50 美元。BodyPlus200 包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个腿部
3、拉伸装 置。生产一个框架需要 5 小时机器制造和焊接时间， 4 小时喷涂和完工时间； 生产一个压力 装置需要 3 小时机器制造和焊接时间， 2 小时喷涂和完工时间； 生产每个提升一下拉装置需 要 2 小时机器制造和焊接时间， 2 小时喷涂和完工时间，另外，每个 BodyPlus200 还需要2 小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是 650 美元，每个压力装置的成本 是 400 美元，每个提升一下拉装置是 250 美元，每个腿部拉伸装置的成本是 200 美元。包 装成本大约是每单位 75 美元。在下一个生产周期，管理部门估计有 600 小时机器和焊接时间， 450 小时喷涂和完工 时
4、间， 140 小时组装、 测试和包装时间是可用的。 现在的每小时劳动力成本是机器制造和焊 接时间 20 美元，喷涂和完工时间 15 美元，组装、测试和包装 12 美元。虽然对于 BFI 来说 由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性，但 BodyPlus100 的市场建议价格 是 2400 美元， BodyPlus200 是 3500 美元。授权的 BFI 销售商可以以市场价格的 70% 来 购买产品。BFI 的总裁相信 BodyPlus200 的独特功能可以帮助 BFI 成为高端锻炼器械的领导者。 所以，他认为 BodyPlus200 的数量至少会占到整个生产数量的 25% 。管理报
5、告分析 BFI 的生产问题， 为公司的总裁准备一份报告， 告诉他们你的发现和建议。 报告包 括以下几个方面（不仅于此） ：（ 1） BodyPlus100 和 BodyPlus200 的建议生产数量是多少？（ 2） BodyPlus200 的数量占生产数量至少 25% 的要求会怎样影响利润？（3）为了增加利润应扩展哪方面的努力？把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。二、问题分析与模型建立根据案例对好身体公司（ BFI ）两种器械产品 BodyPlus100 和 BodyPlus200 的描述， 用表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下：零件产品原材料成本（美元）BodyPl
6、us100BodyPlus200BodyPlus100BodyPlus200框架4254450650压力装置2 132300400提升/下拉2 22 2250250组装22腿拉200包装5075总共用时（h）8510 8总成本（美元）10501575机器/焊接（h）600劳动成本（美元/h）20喷涂/完工（h）45015组、测、包（h）14012售价（美元）24003500表1.1（1）BodyPluslOO 和BodyPlus200 的建议生产数量是多少?设BodyPluslOO 的建议生产数量是 x1 , BodyPlus200 的建议生产数量是 x2,总利润是Z,则目标函数：maxz=2
7、400x1+3500x2 20(8x1+10x2) 15(5x1+8x2) 12(2x1+2x2)约束条件:=2141x1+3156x2 8x1+10x2 6005x1+8x24502x1+2x2 0(2) BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？设BodyPluslOO 的建议生产数量是 x1 , BodyPlus200 的建议生产数量是 x2,总利润是Z，则 目标 函数：maxz=2400x1+3500x2 20(8x1 + 10x2) 15(5x1+8x2)12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2f约束条件：8x1+10x2 6005x1+8x24
8、502x1+2x2140x1 -3x2 0三、模型求解与结果解释根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表x1，纵轴代表x2。(1) BodyPlus100 和BodyPlus200 的建议生产数量是多少？根据问题(1)约束条件：作 8x1+10x2 = 600 直线，令 x仁0，则 x2=60 ;令 x2=0，则 x仁75同理，作 5x1+8x2=450,2x1+2x2=140 两直线得图形如下：1802x1+2x2= 140135909013518045OX18x1+10x2 = 6005x1+8x2= 450图1.1由图可知，阴影部分即为可行域范围，且当
9、x仁 150/7, y=300/7 时，z 最大，此时 maxz=181135.7可得最优解为：x仁150/7, y=300/7综上所述，建议生产 BodyPlus100 产品21台，生产 BodyPlus200 产品43台。该生产建议下各项约束条件情况如下：约束条件耗费时间可用时间机器/焊接(h)598600喷涂/完工(h)449450组、测、包(h)128140表1.2(2) BodyPlus200 的数量占生产数量至少 25%的要求会怎样影响利润?根据问题（2）的约束条件，即在问题（1）的基础上增加 x1-3x2 WO这一项约束条件。因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2 =0 直
10、线,令 x1=0，则 x2=0 ;令 x仁90，则 x2=30得到图形如下：十扭2朕虫9送45n（Ixl 3m： =0O451808x1 + 10x2 =130 .Ell 2由图可知，阴影部分即为可行域范围。对比图1.1和图1.2可行域范围明显减小。当由此约束条件的情况下，当x仁150/7 ,y=300/7 时，z最大，此时maxz=181135.7可得最优解为：x仁150/7 ，y=300/7此时的建议生产量仍为BodyPlus100 产品21台，生产 BodyPlus200 产品42台。综上所述，有BodyPlus200的产量比例约束时最大利润无影响。（3 ）为了增加利润应扩展哪方面的努力
11、？根据表1.2，在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论：1.机器/焊接所用时间仅比可用时间少2小时；2喷涂/完工所用时间仅比可用时间少1小时；3.组、测、包所用时间比可用时间少12个小时，在其他条件允许的情况下可以再组装 6台器械。针对上述结论，为增加利润提出如下建议：1. 增加机器制造和焊接时间的可用时间；2. 增加喷涂和完工的可用时间。四、参考文献20121 侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇北京：机械工业出版社，一、问题提出J.D威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达1.2亿美元的资金。公司运用一个很有价值的模型， 为每个客户安排投资， 分别投资在股票增
12、长基金、 收入基金和 货币市场基金。 为了保证客户投资的多元化， 公司对这三种投资的数额加以限制。 一般来说， 投资在股票方面的资金占总投资20%-40% 之间，投资在收入基金上的资金应确保在20%-50% 之间，货币市场方面的投资至少应该占 30% 。此外， 公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如， 威廉姆斯的一位新客户希望投资 800000 美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为 0.05 。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10 ，收入基金的风险指数是0.07 ，货币市场的风险指数是 0.01 。整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百
13、分率 与其风险指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是 18% ，收入基金的收益是 12.5% ，货币市场基 金的收益是 7.5% 。现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立数字 模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。管理报告（ 1 ）如何将 800 000 美元投资于这 3 种基金。 按照你的计划， 投资的年收益是多少？（2）假设客户的风险承受指数提高到 0.055 ，那么在投资计划更改后，收益将增加多 少？（ 3）假设客户的风险承受指数不变， 仍然是 0.05 ，而股票成长基金的年收益率从 18% 下降到 14%，那新的最佳投资方案是什么？(4)
14、假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资 于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？(5 )当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作 出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、问题分析与模型建立根据案例对 J.D.威廉姆斯公司三种基金股票增长基金、收入基金和货币市场基金的描 述，用表格形式列举出三种基金的各项基本信息，表格如下：基金类型年收益率风险指数投资限额总投资额总风险指数股票基金18%0.1020%-40%8000000.05收入基金12.5%0.0720%-50%货币基金7.5%0.0130%(1)如何将800 000 美元投资于这 3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？设三种投资基金的数量分配分别为x1，x2，x3 (单位为百万)，投资的年收益为乙则目标函数 maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3约束条件：x1+x2+x3 0.80.16 x1 0.320.16 x2 0.240.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05(2)假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？设三种投资基金的数量分配分别为x1
