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1、函数的单调性1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学一
2、、复习引入： 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象. 的图象如图1，的图象如图2. 引入：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取0，+)，得到=,=,那么当时，有.这时我们就说函数=在0,+ )上是增函数. 图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取（-，0），得到=,=,那么当.这时我们就说函数=在(-,0)上是减函数. 增函数与减函数定义：对于函数的定义域I
3、内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则说在这个区间上是增函数（如图3）；若当,则说在这个区间上是减函数（如图4）. 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.例1 如图6是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 解：函数的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.例2 证明函数在R上是增函数.证明：设
4、是R上的任意两个实数，且，则=(3+2)-(3+2)=3(), 由x,得0 ,于是0,即 .在R上是增函数.例3 证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,又由0 ,于是0,即 在(0,+ )上是减函数.例4讨论函数在(-2,2)内的单调性.（画图变可以求解）解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.3判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.解：设,(-，0)，且0,又由0 ,于是0,即 .= 在(0,+ )上是减函数.能否说函数= 在(-，+)上是减函数？
5、答：不能. 因为=0不属于= 的定义域.了解复合函数单调性的判断方法.一、复习引入：1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；若当,则说在这个区间上是减函数.2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3.判断证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.2复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上
6、也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例2求函数的值域，并写出其单调区间解：题设函数由和复合而成的复合函数，函数的值域是，在上的值域是.故函数的值域是.对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数当时，即，或.当时，即，.因此，本题应在四个区间，上考虑 当时，而在上是增函数，在上是增函数，所以，函数在区间上是增函数当时，而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数当时，而在上是减函数，在上是减函数，所以，函
7、数在区间上是增函数当时，而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数反函数（一）函数反函数定义域AC值 域CA例1求下列函数的反函数：； ； .解：由解得函数的反函数是，由解得x=,函数的反函数是由y=+1解得x=, x0，y1. 函数的反函数是x= (x1);由解得 xcxR|x1，yyR|y2函数的反函数是例4 已知= -2x(x2),求.解法1：令y=-2x，解此关于x的方程得，x2，即x=1+-, x2，由式知1，y0-,由得=1+（x0，xR）；解法2：令y=-2x=-1，=1+y，x2，x-11，x-1=-,即x=1+, x2，由式知1，y0,函数= -2x(x2)的反函数是=1+（x0）；9
