《福建师范大学21春《复变函数》离线作业一辅导答案65》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21春《复变函数》离线作业一辅导答案65（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学21春复变函数离线作业一辅导答案1. 关于函数的连续性、可微性的正确结论是( ) A除两个点是第一类间断点外处处连续可导 Bf(x)在(-，+)连关于函数的连续性、可微性的正确结论是()A除两个点是第一类间断点外处处连续可导Bf(x)在(-，+)连续，仅有一个不可导点Cf(x)在(-，+)连续，仅有两个不可导点Df(x)处处可导C2. 设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x1)=0(x0x1)，则f(x)在x0设f(x)满足f(x)+f(x)g(x)-f(x)=0，其中g(x)为任一函数。证明：若f(x0)=f(x
2、1)=0(x0x1)，则f(x)在x0，x1上恒等于0。正确答案：一定存在(x0x1)使f()=0则f()=f()；若f()0则f()0应为f(x)的极小值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾；若f()0则f()0应为f(x)的极大值点但f()0=f(x0)=f(x1)矛盾。故只能f()=0即f()=0再对x0及x1应用以上结论反复使用知f(x)在x0x1上恒等于0。一定存在(x0,x1),使f()=0,则f()=f()；若f()0,则f()0,应为f(x)的极小值点,但f()0=f(x0)=f(x1),矛盾；若f()0,则f()0,应为f(x)的极大值点,但f()0=f(x0)=f(x1
3、),矛盾。故只能f()=0,即f()=0,再对x0,及,x1应用以上结论,反复使用,知f(x)在x0,x1上恒等于0。3. 向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关 向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？向量组1，2，k含有零向量，则该向量组必然线性相关向量组1，2，k线性相关，则必然含有零向量？例 设1=(1，2，4)，2=(2，4，8)，易知1，2线性相关，但1，2中不含零向量4. 求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率求曲线x(t)=(a(1一sint)，a(1一cost)，bt) (a0，b0)的曲率、挠率正确答案：
4、解法1计算得rn因此rn解法2rnrn这表明rn因此用Frenet公式求g较容易rn若用x表示对弧长的求导则rn所以rn解法1计算得因此解法2这表明因此用Frenet公式求g,较容易若用x表示对弧长的求导,则所以5. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示， 定点在(0，0，a)处 则 dF的三个分量为 ， 所求力F=Fx，Fy，Fz 则由对称性知 Fx=Fy=0 而 球面参数方程为 x=Rcossin，y=Rsinsin z=Rcos 所以
5、dS=R2sindd， 故 注意引力是一个向量向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加 令a2+R2-2aRcos=t2 则 所以 此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力 注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力不妨只就aR的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体当r0时，认为球壳r2x2+y2+z2(r+r)2为均匀球面，半径为r则只考虑ra这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)于是这一层对定点的引力为 所以 (aR) 所得结果与题完全一致读者不难仿此得到当aR的情况 6. 任放一张红牌或黑
6、牌，让A看但不让B知道。如是红牌，A可以掷一枚硬币或让B猜，掷硬币出现正反面概率各为12，出现任放一张红牌或黑牌，让A看但不让B知道。如是红牌，A可以掷一枚硬币或让B猜，掷硬币出现正反面概率各为1/2，出现正面，A赢得p元，出现反面，A输q元；如让B猜，B猜红，A输r元，猜黑，A赢s元。如是黑牌，A只能让B猜，如猜红，A赢t元，如猜黑，A输u元。试列出A的赢得矩阵。A的赢得矩阵为： 7. 试证试证(sinh z)=cosh z；(cosh z)=sinh z试证(sinh z)=cosh z；(cosh z)=sinh z正确答案：8. 试用矩阵指数函数法求解下列齐次微分方程组试用矩阵指数函数
7、法求解下列齐次微分方程组特征方程 有2重特征根=0 直接利用矩阵指数函数式 通解为或x=(1+2t)c1+4tc2，y=-tc1+(1-2t)c2其中c1，c2为任意常数$特征方程为 得单根=0，2重特征值=1 对应=0的特征向量满足 ， 其中0为任意常数对应2重特征值=1的特殊向量满足 其中，是不全为零的任意常数 对初值条件x(0)=有=u+v，即 ， 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解 x=u+etE+t(A-E)v 依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 $特征方程为 得单根=1，2重特征值=2 对应=1的特征向量满足 其中0为任意常数对应2重特征
8、值=2的特殊向量v满足 ， 其中，是不全为零的任意常数 对初值条件x(0)=有=u+v，即 由矩阵指数函数式得方程满足初值条件x(0)=的解 x=etu+e2tE+t(A-2E)v 依次取为(1，0，0)T，(0，1，0)T，(0，0，1)T可得 9. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测。( )A.正确B.错误参考答案：A10. 过半径为R的圆周上一点0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长A过半径为R的圆周上一点0任意作圆的弦0A，0A与直径0B的夹角X服从均匀分布。求所有这些弦长AB的平均长度及弦长AB的方差设弦长AB=Y，则Y=2
9、R|sinX|，由于，所以X的概率密度为，由函数的期望公式求得；EY2=2R2；11. 利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6, s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17, x2-x4+2x5-x6+x7=-22,利用扩充问题求解下列线性规划问题：min f=-x4+2x5+3x6,s.t. x1+5x4-x5+5x6+x7=17,x2-x4+2x5-x6+x7=-22,x3+x4+x5-x6+x7=-33,xi0(i=1，2，7)添加人工约束：x4+x5+x6+x7=M，对扩充问题迭代两次得表7，从表中x2的对应行可知问题无可行解 表7 x1 x5 x6
10、 x7 f -frac175 -frac15-frac95-4-frac15 x8 x2x3x4 M-frac175-22+frac175-33-frac175frac175 -frac15 frac65 0 frac45frac15 frac95 0 frac65-frac15 frac65-2 frac45frac15-frac15 1 frac1512. 双曲抛物面上过点(2，0，3)的两条直母线的夹角是_。双曲抛物面上过点(2，0，3)的两条直母线的夹角是_。13. 求下列函数的差分： (1)yxc(c为常数)，求yx (2)yxx22x，求2yx (3)yxax(a0，a1)，求2y
11、x求下列函数的差分： (1)yxc(c为常数)，求yx (2)yxx22x，求2yx (3)yxax(a0，a1)，求2yx (4)yxlogax(a0，a1)，求2yx (5)yxsinax，求yx (6)yxx33，求3yx正确答案：14. 设f&39;(x)是连续函数，则f&39;(x)dx=_设f(x)是连续函数，则f(x)dx=_f(x)+C15. 模D=1，2，3是Z7的一个(7,3,1)差集。( )模D=1，2，3是Z7的一个(7,3,1)差集。( )正确答案： 16. 试证明： 设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)
12、，则1/fk(x)在E上依测度试证明：设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).证明 不妨假定fk(x)(kN)与f(x)皆不为0依题设知，对任一子列fki(x)，均存在子列fkij(x)几乎处处收敛于f(x)也就是说，对任一子列1/fk(x)，均存在子列1/fkij(x)几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.17. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_2/5由抽签原理，每个人取得黄球的概率相等，均为2/5，或由全概率公式，也可算得所求概率为2/5(略)18. 设1，2，n是取自总体的一个样本，B(1，p)，其中p为未知，0p1 求总体参数的矩估计与最大似然估计设1，2，n是取自总体的一个样本，B(1，p)，其中p为未知，0p1 求
