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1、四边形的性质探索4.14.4知识点精析【知识网络】两组对边分别平行【知识点梳理】是直角有一组邻、表解特殊四边形的性质边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互 相平分菱形对边平行，四条边 都相等对角相等两条对角线互相垂直平 分，每条对角线平分一 组对角矩形对边平行且相等四个角都是直 角两条对角线互相平分且 相等正方形对边平行，四条边 都相等四个角都是直 角两条对角线互相垂直平 分且相等，每条对角线 平分一组对角、表解特殊四边形的判别方法边角对角线平行四边形两组对边分别平 行；两组对边分 别相等；一组对 边平行且相等.两组对角分别 相等两条对角线互 相平分菱形 四条边都相等； 一组邻
2、边相等的 平行四边形.两条对角线互相垂直的 平行四边形矩形有二个角是 直角；有一个 是直角的平行 四边形.两条对角线相等的平行 四边形正方形有一组邻边相等 的矩形有一个角是直 角的菱形【重难点突破】例1 如图1,矩形 ABCD中，AC与BD交于0点，BELAC于E, CF丄BD于F. 求证：BE = CF .图1证明：四边形ABCD是矩形，OB = 0C.又TBE丄AC, CF丄BD ,./BEO = /CFO = 90o. /BOE =/COF. BOECOF ./-BE = CF .评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的 判定.图2例2 如图2,点E、F分别是菱形 ABCD的
3、边CD与CB延长线上 的点，且 DE = BF，求证：/ E =/F.证明：如图2，四边形ABCD是菱形，CB = CD , /DCA =/BCA. DE = BF , /CE= CF .又 VCA = CA,/.ACEA CFA./E = ZF .评注：本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定.使直角顶点与A重合,图3例3 如图3,已知正方形 ABCD ,把一个直角与正方形重合, 两边分别与AB、AD重合. 将直角绕点A按顺时针方向旋转， 当直角的一边与 BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于 F点时，作/ EAF的平分线相交于 G,连结EG .求证：(1) BE= DF ;(2) B
4、E+ DG = EG .(1)证明：四边形ABCD是正方形，AB= AD, /BAD = /B= ZADF = /EAF = 90 /BAD /EAD = /EAF -/EAD，即/ BAE =ZDAF . ABE ADF ./-BE = DF .(2)vABE也AADF，/.AE = AF .AG 是/EAF 的平分线， ZEAG = /FAG .AG = AG，/.AAEG AFG .EG = GF ./GF = DF + DG , BE = DF , BE+ DG = EG .角平分线的性质以及全等三评注：本题主要考查正方形的性质、同角的余角相等、角形的性质与判定.图4已知：如图4,在A
5、BC中，D是AB边上的一点，且于E,交AC于点F，请再添加一个条件，使四边形DMCF是菱形，并加以证明.解析：根据菱形的判别方法和已有的已知条件，再添加的条件可为DM /AC或ME= EF 或 DM = DF 或 DM = CF 等.证明：如图 4,在 AABC 中，BD = BC , BE丄CD，贝U DE = CE./DM /AC,./MDE =ZFCE.又v/DEM = ZCEF DEM CEF .DM = CF .四边形DMCF是平行四边形.又/MF丄CD，平行四边形 DMCF是菱形.评注：本题是一道条件开放性问题. 判断一个四边形是菱形的基本依据是：菱形 的判别方法. 首先观察已有的已知条件,再边、角、对角线三方面考虑,探索所添加 的条件.
