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1、第三篇 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2011全国)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D1解析y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点A，y2x2与x轴的交点B(1,0)所以三角形面积S1，故选A.答案A2函数f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足f(x)0，xf(x)f(x)b，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)C
2、af(a)f(b) Dbf(b)0)，F(x)，由条件知F(x)b0，即bf(a)0)，则f(2)的最小值为()A12 B128aC88a D16解析f(2)88a，令g(a)88a，则g(a)8，由g(a)0得a，由g(a)0得0a0时，f(x)0，g(x)0则x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0解析依题意得，函数f(x)、g(x)分别是偶函数、奇函数，当x0，f(x)f(x)0，g(x)g(x)0，选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5(2012新课标全国)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析yx(3ln x1)，
3、y3ln x1x3ln x4，ky|x14，所求切线的方程为y14(x1)，即y4x3.答案y4x36曲线yx3x2在点P处的切线平行于直线y4x1，则点P的坐标为_解析依题意得y3x21，设点P(x0，y0)，则有3x14，解得x01或x01，将x0的值代入曲线方程得y04或y00，从而点P的坐标是(1,0)或(1，4)答案(1,0)或(1，4)三、解答题(共25分)7(12分)求下列函数的导数：(1)y(2x1)n，(nN*)；(2)yln (x)；(3)y；(4)y2xsin(2x5)解(1)yn(2x1)n1(2x1)2n(2x1)n1.(2)y.(3)y1y.(4)y2sin(2x5
4、)4xcos(2x5)8(13分)已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)法一设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0
5、)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26.)法二设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k又kf(x0)3x1，3x1，解之得x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01，或切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1设曲线y在点(3,2
6、)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2 B. C. D2解析y，点(3,2)处切线斜率k，切线与直线axy10垂直， a2.答案D2已知函数f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)f(x)g(x)，则 ()Ah(1)h(0)h(1) Bh(1)h(1)h(0)Ch(0)h(1)h(1) Dh(0)h(1)h(1)解析由图象可知f(x)x，g(x)x2，则f(x)x2m，其中m为常数，g(x)x3n，其中n为常数，则h(x)x2x3mn，得h(0)h(1)h(1)答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3已知曲线C
7、：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_解析设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为ky|xt3t2a所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得：t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数，故a.答案4同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y2(1t12)，则10月份该商品价格上涨的速度是_元/月解析y2(1t12)，y2.由导数的几何意义可知10
8、月份该商品的价格的上涨速度应为y|t103.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月答案3三、解答题(共25分)5(12分 )设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得，y，从而得切线与直线x0交点坐标为.
9、令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.6(13分)(2012辽宁)设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b，为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切(1)求a，b的值；(2)证明：当0x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.记h(x)f(x)，则h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，则当0x2时，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)0，得h(x)0.于是当0x2时，f(x).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
