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1、高二数学 导学案授课教师姚智鑫授课对象徐梓莹授课时间2013.02.03授课题目空间向量与立体几何课型复习使用课时4课时教学目标1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间 向量的线性运算及其坐标表示。2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量 的共线与垂直。4、理解直线的方向向量与平面的法向量。5、能用向量语言表述直线与直线，直线与平囿，平囿与平囿的垂直、平 行关系。6、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线 定理）。7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平囿、平囿与平囿的夹角的计 算问题
2、，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。教学重点 和难点空间向量及其运算，空间向量的应用。高中数学经美孜河1、空间向量的加法和减法:1求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知3 a、b4邻边作平行四边形c ，则以 起点的对角线n就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵色角宗法则.即：在空间任取一点d ，作:a, b,则a b.2、实数与空间向首aw乘积a是一个向量，称为印量中数乘运算.当0时a与a方向相呼当 0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0. a的长度是a的长度的11倍.3、如果表示空间
3、的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量/ b的充要条件是存在实称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共节 4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a, b数，使a b.5、平行于同一个平面的向量称为共面向量.量共画L定理间一点位于平面y 或对空间任C共面，则 xC徵勺充誓M牛皆/有图数对X :x y C；或若四点7、已苧两非零向量a和b u在空间任取一点，作- 向量a, b的夹角，记作a,b .两个向量夹角的取值范围是:,则0,称为8、对于两个非零向量和b,若a,b ,则向量a, b互相垂直，记作a b.2a和b,则a b cos a,b称为a, b的数量积，记作a b.即
4、10、11、2已知两个非零向量cos12、零向量与任何向量的数量积为0 .I与b在a的方向上的投影为单位向量，则有 1的乘积.威cos a,总空间向量基本定理：若三组x, y, z ,使得13、，若个向量allb与b同向a与b反向不共面，;5b , c不共面，则对空间任一向量piP xa yb zC,x, y, z R .这个集合可看作是由向量则所有空间向量组成的集会是a,b,c生成的,称为空间的一个基底,的一个基底.;,称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间14、设 e,e3为有公共起点的三个两两凄直的祟位量（称它们为单位正交基底）方向建立空间直角坐标系为原点，分别以e1, e2
5、 ,xyz .则对于空电任意一个向量e3方向为x轴，y轴，z轴的正定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，4 T T Tp xei ye2 ze3 .把 x得至IJ向量P .存在有序为数组X, y,z ,使得,y , z称作向量p在单位正交基底 e,e2, e3下的坐标，记x, y, z .此时,的坐标是点 在空间耳角坐标系 xyz中的坐标 x, y, z .15、设X1, y1,z1 ,bX2, y2Z ,则1X1X2,y y2,4 Z2 .2 a b , Xi X2,y11X2VW28 cos a, b9Xi,%,Zi ,丫2,4Z2 .Z1Z2yy2Z1Z216、空间中任意一条直线X1,
6、Z1 为非零向量X2, y1X1X2丫2,乙Z2.7yy2Z1Z222/ 222 .y1Z1, X2y2Z2X2, N2Z2 ,则 d222，y14 .222X2Xiy2y1Z2Z1l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定. 点 是直线i上一点，向号a表示直线i的方向向量，则对于直线i上的任意一点，有r ta,这样 点和向量a不仅可以确定直线i的位置，还可以具体表示出直线i上的任意一点.17、空间中平面的位置可以由L内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点们的方向向量分别为上任意一点，存在有序实数对x, y，使18、19、xa yb ,这样点 直线l垂直，取直线 若空间不重合两条直
7、线与向量a, b就确定了平面的位置.i的方向向量a,则向量a称为正面的法向量a.,20、直普a。4向向量为 an an 0, aa,平面分别为/b21、若空间不重合的两个平面22、设异面直线a, bcoscos23、设直线i的方向向量为,则有sincos24、设n1 , n2是二面角的法向的法向量分别为的夹角为,方向向量为i,工平面 的法向量为0nl的两个面补角）就是二面角的平面角的大小.若二面角25、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量26、在直线i上找一点且垂直于直线i的距离为d平面cos27、点是平面a l ，则 a/,i与所成的角为的法向量，则向量n1 ,的平面角为的模计算.的向量为
8、n,则定点是平面为平面/b/，与n的夹角n2的夹角（或某cosni nn n2到直线i的距离的一个法向量，则点到要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1.平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空 间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2.题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接：1.空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考 查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2.空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解 决；二是利用空间向量来论证。例1： （20
9、10 安徽高考理科 T 18）如图，在多面体 ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF/AB, EF FB, AB 2EF , BFC 90, BF FC, H 为 BC 的中点。求证：FH /平面EDB ；(2)求证：AC平面EDB ；(3)求二面角B DE C的大小。【命题立意】 本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、 二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】,，四边形ABCD为正方形，AB BC,又；EF FB,EF /AB, AB FB,且BC。FB B, AB 平面 F
10、BC, AB FH,FHBC,FH平面ABC.如图, x轴、以H为坐标原点，分别以岛B吊的方向为HB、GH、HFtUy轴、z轴的正方向建立坐标系,又BF FC,H为BC中点, 且 AB0BC B,设AC BD勺交点为 又：hF (0,0,1),GGEGE/HFGH,则G (0,-1,0 ),GE (0,0,1),GE 平面 EDB,HFHF / 平面 EDBI(2,2,0),(0,0,1),BD,且 G矶 BD=G AC 平面 EBD.0, AC GE设平面BDE勺法向量为 hH t I BE ( 1, 1,1),BD 由 BEjn1 0,即1BD 0n1(1,丫1,乙),(2, 2,0).y
11、140，得 y11, z1 0,2y 0令BH1,则A(1, 2,0), B(1,0,0), C( 1,0,0), D( 1, 2,0), E(0, 1,1),F(0,0,1). Dni(1, 1,0)设平面CDE勺法向量为n:邑(0, 2,0),；由零ni (1,0,-1)cE I（1以:2）,1,1）.，即y2 1 yZ2,得 y20,Z21,11*2 22,B-DE-C 为 60【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行
12、 求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。要点考向2:利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1.线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2.在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接：1.利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角的方法及公式为(1)异面直线所成角需门网dP)!设小”分别为异面直线 eG的方向向量，则线面角.sin? I a* n)设”是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则2.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:(1)建立恰
13、当的空间直角坐标。(2)求出相关”点的坐标。(3)写出向量坐标。(4)结合公式进行论证、计算。(5)转化为几何结论。例2: (2010 辽宁高考理科 T19)已知三棱锥 PABC 中，PAX ABC , AB AC ,PA=AC= 2 AB , N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别r为 PB,BC 的中点.(I )证明：CM SN;(n)求SN与平面CMN所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的 计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，计算的数量积，写出答案;求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范解答】设PA=1,以A为原点，射线 AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系, 如图。则 P(0,0,1), C(0,1,0), B(2,0,0), M(1,0,2 ), N( 2 ,0,0), S(1,2 ,0)(I)11小-,一,。),22所以CM SN1( 2,1,0),(x, y, z)为平面CMN的一个法向量,o O Z - 2 y y X1 - 2(2,1, 2)【方法技巧】(1)空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。(2)求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。(3)线面
