《高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩(共5页)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩(共5页)(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学压轴题系列导数专题超越不等式放缩1.(2010大纲版)已知函数f(x)=(x+1)lnxx+1()若xf(x)x2+ax+1,求a的取值范围;()证明:(x1)f(x)0解:(),xf(x)=xlnx+1,题设xf(x)x2+ax+1等价于lnxxa令g(x)=lnxx,则 当0x1,g(x)0;当x1时,g(x)0,x=1是g(x)的最大值点,g(x)g(1)=1 综上,a的取值范围是1,+)()由()知,g(x)g(1)=1即lnxx+10当0x1时,f(x)=(x+1)lnxx+1=xlnx+(lnxx+1)0;当x1时,f(x)=lnx+(xlnxx+
2、1)=0 所以(x1)f(x)02.(2010大纲版)设函数f(x)=1ex()证明:当x1时,f(x);()设当x0时,f(x),求a的取值范围解:(1)当x1时,f(x)当且仅当ex1+x 令g(x)=exx1,则g(x)=ex1当x0时g(x)0,g(x)在0,+)是增函数当x0时g(x)0,g(x)在(,0是减函数于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当xR时,g(x)g(0)时,即ex1+x所以当x1时,f(x)(2)由题意x0,此时f(x)0当a0时,若x,则0,f(x)不成立;当a0时,令h(x)=axf(x)+f(x)x,则f(x)当且仅当h(x)0因为f(x)=1ex,所以h
3、(x)=af(x)+axf(x)+f(x)1=af(x)axf(x)+axf(x)(i)当0a时,由(1)知x(x+1)f(x)h(x)af(x)axf(x)+a(x+1)f(x)f(x)=(2a1)f(x)0,h(x)在0,+)是减函数,h(x)h(0)=0,即f(x);(ii)当a时,由y=xf(x)=x1+ex,y=1ex,x0时,函数y递增;x0,函数y递减可得x=0处函数y取得最小值0,即有xf(x)h(x)=af(x)axf(x)+axf(x)af(x)axf(x)+af(x)f(x)=(2a1ax)f(x)当0x时,h(x)0,所以h(x)0,所以h(x)h(0)=0,即f(x)
4、综上,a的取值范围是0,3.(2012山东)已知函数为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行()求k的值;()求f(x)的单调区间;()设g(x)=(x2+x)f(x),其中f(x)为f(x)的导函数证明:对任意x0,g(x)1+e2解:()f(x)=,x(0,+),且y=f(x)在(1,f(1)处的切线与x轴平行,f(1)=0,k=1;()由()得:f(x)=(1xxlnx),x(0,+),令h(x)=1xxlnx,x(0,+),当x(0,1)时,h(x)0,当x(1,+)时,h(x)0,又ex0,x(0,1)时,f(x)0,x(1,
5、+)时,fx)0,f(x)在(0,1)递增,在(1,+)递减;证明:()g(x)=(x2+x)f(x),g(x)=(1xxlnx),x(0,+),x0,g(x)1+e21xxlnx(1+e2),由()h(x)=1xxlnx,x(0,+),h(x)=(lnxlne2),x(0,+),x(0,e2)时,h(x)0,h(x)递增,x(e2,+)时,h(x)0,h(x)递减,h(x)max=h(e2)=1+e2,1xxlnx1+e2,设m(x)=ex(x+1),m(x)=ex1=exe0,x(0,+)时,m(x)0,m(x)递增,m(x)m(0)=0,x(0,+)时,m(x)0,即1,1xxlnx1+
6、e2(1+e2),x0,g(x)1+e24.(2013辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e2x,g(x)=ax+1+2xcosx,当x0,1时,(I)求证:;(II)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围解:(I)证明:当x0,1)时,(1+x)e2x1x(1+x)ex(1x)ex,令h(x)=(1+x)ex(1x)ex,则h(x)=x(exex)当x0,1)时,h(x)0,h(x)在0,1)上是增函数,h(x)h(0)=0,即f(x)1x当x0,1)时,ex1+x,令u(x)=ex1x,则u(x)=ex1当x0,1)时,u(x)0,u(x)在0,1)单调递增,u(x)u(0)=0,f(
7、x)综上可知:(II)解:设G(x)=f(x)g(x)=令H(x)=,则H(x)=x2sinx,令K(x)=x2sinx,则K(x)=12cosx当x0,1)时,K(x)0,可得H(x)是0,1)上的减函数,H(x)H(0)=0,故H(x)在0,1)单调递减,H(x)H(0)=2a+1+H(x)a+3当a3时,f(x)g(x)在0,1)上恒成立下面证明当a3时,f(x)g(x)在0,1)上不恒成立f(x)g(x)=x令v(x)=,则v(x)=当x0,1)时,v(x)0,故v(x)在0,1)上是减函数,v(x)(a+1+2cos1,a+3当a3时,a+30存在x0(0,1),使得v(x0)0,此
8、时,f(x0)g(x0)即f(x)g(x)在0,1)不恒成立综上实数a的取值范围是(,35.(2012湖北文)设函数f(x)=axn(1x)+b(x0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为x+y=1()求a,b的值;()求函数f(x)的最大值;()证明:f(x)解:()因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0因为f(x)=anxn1a(n+1)xn,所以f(1)=a又因为切线x+y=1的斜率为1,所以a=1,即a=1,故a=1,b=0()由()知,f(x)=xn(1x),则有f(x)=(n+1)xn1(x),令f(x)=0,
9、解得x=在(0,)上,导数为正,故函数f(x)是增函数;在(,+)上导数为负,故函数f(x)是减函数;故函数f(x)在(0,+)上的最大值为f()=()n(1)=,()令(t)=lnt1+,则(t)=(t0)在(0,1)上,(t)0,故(t)单调减;在(1,+),(t)0,故(t)单调增;故(t)在(0,+)上的最小值为(1)=0,所以(t)0(t1)则lnt1,(t1),令t=1+,得ln(1+),即ln(1+)n+1lne,所以(1+)n+1e,即由()知,f(x),故所证不等式成立6.(2016新课标)设函数f(x)=lnxx+1(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,1
10、x;(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c1)xcx【解答】解:(1)函数f(x)=lnxx+1的导数为f(x)=1,由f(x)0,可得0x1;由f(x)0,可得x1即有f(x)的增区间为(0,1);减区间为(1,+);(2)证明:当x(1,+)时,1x,即为lnxx1xlnx由(1)可得f(x)=lnxx+1在(1,+)递减,可得f(x)f(1)=0,即有lnxx1;设F(x)=xlnxx+1,x1,F(x)=1+lnx1=lnx,当x1时,F(x)0,可得F(x)递增,即有F(x)F(1)=0,即有xlnxx1,则原不等式成立;(3) 证明:设G(x)=1+(c1)xcx,则需要证明:当x(0,1)时,G(x)0(c1);G(x)=c1cxlnc,G(x)=(lnc)2cx0,G(x)在(0,1)单调递减,而G(0)=c1lnc,G(1)=c1clnc,由(1)中f(x)的单调性,可得G(0)=c1lnc0,由(2)可得G(1)=c1clnc=c(1lnc)10,t(0,1),使得G(t)=0,即x(0,t)时,G(x)0,x(t,1)时,G(x)0;即G(x)在(0,t)递增,在(t,1)递减;又因为:G(0)=G(1)=0,x(0,1)时G(x)0成立,不等式得证;即c1,当x(0,1)时,1+(c1)xcx专心-专注-专业