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1、中考专题复习路径最短问题一、具体内容包括:蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题;AB线段(之和)最短问题;二、原理:两点之间,线段最短;垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)三、例题:例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处,则它爬行的最短路径是 。ABCD如右图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。张村李庄ABL例2、如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。如图,直线L同侧有两点A、B,已知A、B
2、到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置,并计算PA+PB的最小值。张村李庄要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km,则所用水管最短长度为 。四、练习题(巩固提高)(一)1、如图是一个长方体木块,已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。ABABABCDA第3题第2题第1题2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计),圆柱体高
3、为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为 。3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物,知圆柱体的高为5 cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为 。4、正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM2,N是AC上的一动点,DNMN的最小值为 。 第4题 第5题 第6题 第7题5、在菱形ABCD中,AB=2, BAD=60,点E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为 。6、如图,在ABC中,ACBC2,ACB90,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则ECED的最小值为_ _。7、AB是O的直径,AB=2,
4、OC是O的半径,OCAB,点D在AC上,AD = 2CD,点P是半径OC上的一个动点,则AP+PD的最小值为_ _。(二)8、如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD18cm,则PMN的周长为_。9、已知,如图DE是ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E,且AC5,BC8,则AEC的周长为_。10、已知,如图,在ABC中,ABAC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC8,ABE的周长为14,则AB的长 。11、如图,在锐角ABC中,AB4,BAC45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则B
5、M+MN的最小值是_12、在平面直角坐标系中,有A(3,2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n = 时,AC + BC的值最小 第11题 第14题 第15题13、ABC中,C = 90,AB = 10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PEAC于E,PFBC于 F,E、F是垂足,则EF的最小值等于 14、如图,菱形ABCD中,AB=2, BAD=60,点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点,则PE+PF的最小值为_.15、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?16、一次函数
6、y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4)(1)求该函数的解析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PCPD的最小值,并求取得最小值时P点坐标(三)16、如图,已知AOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得PEF的周长最小。试画出图形,并说明理由。17、如图,直线l是第一、三象限的角平分线实验与探究:(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(2,5)关于直线l的对称点B、C的位置,并写出他们的坐标:B 、C ;归纳与发现:(2)结合以上三组点的坐标,你会发
7、现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 ;运用与拓广:(3)已知两点D(1,3)、E(1,4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标18、几何模型:条件:如图,A、B是直线L同旁的两个定点问题:在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小方法:作点关于直线的对称点,连结交于点,则的值最小(不必证明)模型应用:(1)如图1,正方形的边长为2,为的中点,是上一动点连结,由正方形对称性可知,与关于直线对称连结交于,则的最小值是_;(2)如图2,的半径为2,点在上,是上一动点,求的最小值;OABPRQ图3(3)如图3,AOB=4
8、5,P是AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求PQR周长的最小值OABC图2PABECBD图1ABPl19、问题探究(1)如图,四边形是正方形, ,为边的中点,为上的一个动点,求的最小值;(2)如图,若四边形是菱形, ,为边上的一个动点,为上的一个动点,求的最小值;ADBCADBCEPACDB问题解决(3)如图,若四边形ABCD是矩形, ,为边上的一个动点,为上的一个动点,求的最小值;20.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在(
9、2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)解:(1)过点B作BD轴于点D,由已知可得:OB=OA=2,BOD=60。.在RtOBD中,ODB=90。,OBD=30。.OD=1,DB=点B的坐标是(1,).(2)设所求抛物线的解析式为,由已知可得:解得:所求抛物线解析式为(3)存在.由配方后得:抛物线的对称轴为=1.(也写用顶点坐标公式求出)OB=2,要使BOC的周长最小,必须BC+CO最小.点O与点A关于直线=1对称,有CO=CA. BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A、C、B三点共线
10、,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时BOC的周长最小.设直线AB的解析式为解得: 直线AB的解析式为当=1时, 所求点C的坐标为(1,).21、DOxyBEPAC如图,抛物线的顶点P的坐标为,交x轴于A、B两点,交y轴于点(1)求抛物线的表达式(2)把ABC绕AB的中点E旋转180,得到四边形ADBC判断四边形ADBC的形状,并说明理由(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得FBD的周长最小,若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由题意知解得, -3分(列出方程组给1分,解出给2分)抛物线的解析式为 -4分(2)设点A(,0),B(,0),则,解得
11、 -5分 OA1,OB3又tanOCBOCB60,同理可求OCA30ACB90 -6分由旋转性质可知ACBD,BCAD 四边形ADBC是平行四边形 -7分又ACB90四边形ADBC是矩形 -8分(3)延长BC至N,使假设存在一点F,使FBD的周长最小即最小DB固定长只要FD+FB最小又CABNFD+FBFD+FN当N、F、D在一条直线上时,FD+FB最小 -10分又C为BN的中点, (即F为AC的中点)又A(1,0),C(0,) 点F的坐标为F(,) 存在这样的点F(,),使得FBD的周长最小-12分22. 已知:直线与轴交于A,与轴交于D,抛物线与直线交于A、E两点,与轴交于B、C两点,且B
12、点坐标为 (1,0)(1)求抛物线的解析式;(2)动点P在轴上移动,当PAE是直角三角形且以P为直角顶点时,求点P的坐标(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使的值最大,求出点M的坐标yxODEABC答案:(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入得 解得 抛物线的解折式为 3分(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为,则E(,)又点E在直线上,EyAFCB 解得(舍去),E的坐标为(4,3) 4分过E作轴于,设P(b,0)由,得由得解得,此时的点P的坐标为(1,0)或(3,0) 6分(3)抛物线的对称轴为 B、C关于对称,要使最大,即是使最大 8分由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M在同一直线上时的值最大易知直线AB的解折式为由 得 M(,) 10分