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1、第66讲圆锥曲线中的范围、最值问题【课程要求】培养推理思维会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的范围与最值问题, 能力、运算能力.回扣教材基化知识旁宜教材知识箜合V对应学生用书P197概念辨析1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)=1(a0, b0)上的任一点，贝y |xo|a.()【基础检测】y2 x2b2(1) 设点P(xo, yo)为双曲线纟a2 2椭圆字+ b= 1(ab0)上的点到焦点距离的最大值是a+ c(c为半焦距).()答案(1) XV教材改编2. 选修2- 1p8oA组T11抛物线y = x2上一点到直线2x y 4= 0的距离最短的点的坐 标是(1
2、 1A. 2 , 4B. (1, 1)3 9c. 2 , 4D (2 , 4)解析法-:设抛物线上任一点为(x , y),则由点到直线的距离得|2x y 4| |2x x2 4| | (x 1) 2+ 3|( x 1) 2+ 33d=,5=,5=. 5=55.当 x = 1 时，取得最小值，此时点的坐标为(1 , 1).法二：设 2x y+ m = 0 与 y= x2 相切，则 x2 2x m = 0.= 4 + 4m = 0, m= 1,此时 x = 1,二点的坐标为(1 , 1).法三：(导数法)y = x2的导数为y = 2x,设所求点为P(xo, yo),则2X0 = 2. x0= 1
3、, P(1, 1) 答案B3. 选修2 1p73A组T5过抛物线y2= x的焦点F的直线I交抛物线于A , B两点，且 直线l的倾斜角0n,点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是()411A. ；, 1 B. ；,+m44C 1 +8D 1 1 + 亚C. 2 , +D. 4 , 1 十 21解析记点A的横坐标是X1 ,则有|AF| = X1+ 41 1 1= 4 + |AF|cos 0 + 4=|AF|cos 0,1|AF|(1 - cos 0)= 2，|AF| =22 (1 cos 0由 4 W 0n 得一1 cos 0 ，2 ,2 2(1 cos 04,1 1 一 1 一 20, b0)
4、的两条渐近线将平面划分为上、下、左、右”四个区 a b域(不含边界)，若点(2, 1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A. 1,三 B. 55,c. 1, 4 d. 4，+m22解析依题意，注意到题中的双曲线 字b= 1的渐近线方程为y =x,且“右”区域by1,因此题baa 2y-ax中的双曲线的离心率 e=1 + a ,+s .答案B5. 点M(20, 40)，抛物线y2= 2px(p0)的焦点为F，若对于抛物线上的任意点 P, |PM| + |PF|的最小值为41,则p的值等于 .解析由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足
5、为D，则|PF|=|PD|.(1) 当 M(20 , 40)位于抛物线内，|PM|+ |PF|= |PM| + |PD|，当 M , P, D 共线时，|PM| + |PF|的距离最小，由最小值为41，即20 + p= 41，解得：p = 42.满足题意；(2) 当M(20 , 40)位于抛物线外，当 P, M , F 共线时，|PM| + |PF取最小值，即.402+ 20= 41，解得：p = 22 或58,当p = 58时，/= 116x，则点M(20, 40)在抛物线内，舍去.(3) 当M(20 , 40)在抛物线上，得 p= 40,当P与M重合时，|PM| + |PF取最小值40,此
6、时不满足，舍去.答案42或22【知识要点】1.求圆锥曲线的有关最值,常用方法有：代数法和几何法.(1)代数法：借助函数求最值的方法.运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法.常用的方法有：配方法：由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值紧密联系，这时可对二次函数进行配方， 并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值；基本不等式法：如能转化为定和或定积的问题，可以考虑用基本不等式求其最值；三角法：借 助圆锥曲线的参数方程或三角代换，将所求最值问题转化为三角函数的最值问题.(2)几何法：利用圆锥曲线的定义结合
7、对称的有关结论求到两定点距离的和差的最值；利用平面几何中的有关结论求其最值.2.参变量范围问题.通常应用转化与化归思想，将问题转化为含参数的方程，在某给定范围内有解的问题, 或将问题转化为含参函数的值域问题求解.对应学生用书P198圆锥曲线中的最值问题例1 如图，已知圆 C : x2+ (y 2尸=4, M(X0, y)为抛物线x2= 4y上的动点, 过点M作圆C的两条切线分别与(1)若xo= 4，求过点M的圆的切线方程；若xo4，求 MAB面积S的最小值.解析(1)当 xo= 4 时，yo= 4，所以 M(4 , 4),设切线方程为 y 4 = k(x 4)，即 kx y 4k + 4= 0
8、,|2 4k|4 .= 2，解得 k = 0 或 k =k2+13过点M的圆的切线方程为 y = 4或4x 3y 4= 0.(2)设切线 y yo= k(x xo),即卩 kx y + yo kxo = 0, 切线与x轴交点为xo ，0 ,|一 2 + y0一 kx0|圆心到切线的距离为 d = 2,+ 1化简得(x0 4)k2+ 2x0(2 y)k + y0 4y= 0,设两切线斜率分别为k1, k2,则匕+ k2=2x0 (2 y0)y2 4y,k1k2=訂,y4,x6 4MABy0y01 k1 k2x0k1 一 x0k2 = 2 齐yy0 42y2y0 416 /2+( y0 4)+ 8
9、 322 y0 4当且仅当y= 8时取等号.所以 MAB面积S的最小值为32.小结圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.杉训练巩固 已知抛物线 C: x2= 4y，点P是C的准线I上的动点,A, B ,1.在平面直角坐标系 xOy中, 过点P作C的两条切线，切点分别为A. 2 B. 2 C. 2 2解析则厶AOB面积的最小值为()D. 4设 P(xo, 1),
10、 A(x 1, y1), B(x2,x2y1= 4，y2 = N的切线分别为y琴=X2(x X1),B在抛物线上，所以y2),X2因为y= 2，则过点a , bX2 X2 y 4 = 2(x X2)，均过点X2 X1则一1 4 = 2(xoX1), 1 P(xo, 1),x2 X24 = y(xo X2)，即 X1,X2 是方程一则xi + x2= 2xo, xix2= 4,设直线 AB的方程为y= kx + b，联立2X2 X1 4 = 2(xo x)的两根，X = 4y,得 x24kx y= kx + b,4b= 0,贝U X1X2 = 4b = 4，即 b= 1, |AB| = 1 +
11、k2|x1 X2|1 + k2 (X1 + X2)2 4X1X21 + k2 2+ 16,O到直线AB的距离d = f ,x/k2+ 1则 Saob = |AB|d = x0+ 42,即厶AOB的面积的最小值为 2，故选B.答案B圆锥曲线中的范围问题例2 设圆x2 + y2+ 2x 15= o的圆心为 A，直线I过点B(1 , o)且与x轴不重合，I交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+ |EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线 C1，直线l交C1于M , N两点，过B且与I垂直的直线与圆 A 交于P, Q两点，求四边形 MPNQ面积的取
12、值范围.解析(1)因为 |AD| = |AC|, EB / AC ,故 / EBD = / ACD = / ADC ,所以 |EB|=|ED|，故 |EA| + |EB|=|EA| + |ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+ 1)2+ y2= 16,从而|AD| = 4, 所以 |EA| + |EB| = 4.由题设得 A( 1, 0), B(1 , 0) , |AB| = 2 ,X2y2由椭圆定义可得点e的轨迹方程为4 +牙=1(y丰0).当I与x轴不垂直时，设I的方程为y= k(x 1)(k丰0), M(x 1, y1), N(x2, y2).得(4k2+ 3)x2 8k2x +
13、4k2 12= 0.y= k (x 1),由 22由 X-+ y-= 1434k2 12X1X2 =4k2 + 312 (k2+ 1) 所以 |MN| = 1 + k2|x1 X2|=8k2则 X1+ X2= c4k2 + 3过点B(1 , 0)且与I垂直的直线4k2 + 31 2 y=-(X 1), A至U m的距离为寸 k2+ 14k2 + 3 k2 + 1 .所以 |PQ|= 242 ；训练巩固22.k2+ 1= 4故四边形MPNQ的面积1 1S= JMNIIPQI = 121 + 4k2+ 3.可得当I与x轴不垂直时，四边形 MPNQ面积的取值范围是12 , 8 ,3).当I与x轴垂直时，其方程为 x= 1，|MN| = 3，|PQ|= 8，四边形 MPNQ的面积为12. 综上，四边形 MPNQ面积的取值范围是12，8 3).小结解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：(1) 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的 等量关系；(3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4
