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1、DFT 和 FFT 实验一、实验目的和要求1、掌握 DFT 变换2、掌握 DFT 性质3、掌握快速傅立叶变换(FFT)二、实验容和原理1、实验容1)求有限长离散时间信号的离散时间傅立叶变换X(eQ)并绘图。(.匹丫已知 x(n) = 0.9ej 30 n 10I 丿已知 x(n) = 2n一 10 n 102) 已知序列x(n) = cos(0.82兀n) + 2sin(兀n), 0 n 50，绘制x(n)及其离散傅立叶变换X (k)的幅度、相位图。3) 设x(n) = sin(0.2兀n) + randn(n), 0 n N -1，其中,randn(n)为高斯白噪声。求出 N = 4m, m
2、=2,3,4的 matlab 采用不同算法的执行时间。4) 研究高密度频谱和高分辨率频谱。设有连续信号x(t) = cos(2兀 x 6.5 x 1031) + cos(2兀 x 7 x 1031) + cos(2兀 x 9 x 1031) 以采样频率f = 32kHz对信号x(t)采样，分析下列三种情况的幅频特性。s 采集数据长度N=16点，做N=16点的FFT,并画出幅频特性。 采集数据长度N=16点，补零到256点，做N=256点的FFT,并画出幅频特性。 采集数据长度N=256点，做N=256点的FFT,并画出幅频特性。 观察三种不同频率特性图，分析和比较它们的特点以及形成的原因。2、
3、实验原理1) DFT序列x(n )的离散时间傅里叶变换(DTFT)表示为XjG )= 区x(n)e -伽，n = 如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,.,N-1,则x(n)的DTFT表示为X(ew) = f (n)e jn=0x(n)的离散傅里叶变换(DFT )表达式为X (k)=艺x(n)eS伙=0,1,., N -1)n=0序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间0,2n上的N点灯间隔采样，采样间隔为2n/N。通过DFT，可 以完成由一组有限个信号采样值 x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值 X(k)。X(k)的幅度谱为|X(k)| =2(k) + X2(k),其中下标R和I分别
4、表示取实部、虚部的运算。X(k)的相位谱为 RI申(k) = arctan jX (k)R离散傅里叶反变换(IDFT)定义为x(n)=丄匸X (k)ej紳 (n = 0,1,., N -1)。Nn=02) FFT2兀快速傅里叶变换(FFT)是DFT的快速算法，并不是一个新的映射。FFT利用了 e-jNn函数的周期性 和对称性以及一些特殊值来减少DFT的运算量，可使DFT的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处 理的速度大大提高。若信号是连续信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可 以用FFT来对连续信号进行谱分析。为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个
5、抗混叠低通滤波器, 且抗混叠滤波器的截止频率不得高于与采样频率的一半。比较DFT和IDFT的定义，两者的区别仅在于指数因子的指数部分的符号差异和幅度尺度变换，因此 可用FFT算法来计算IDFT。三、主要仪器设备Matlab四、操作方法和实验步骤1、认真分析原函数，取点2、用 matlab 编写程序，运行程序得出结果五、实验数据记录、处理和分析1、求有限长离散时间信号的离散时间傅立叶变换X(e；n)并绘图。(.匹丫 已知 x(n) = 0.9ej 30 n 10I 丿 已知 x(n) = 2n-10 n 10【解答】思路：这是一道DFT的题，按照题目要求只需要取11个点即可。 第( 1)小题M文
6、件源代码N=11;取%点个数为11个j=sqrt(-1);定% 义 j 为复数单位f=inline(0.9*exp(j*pi/3)入n,n);定 义一个函数 f(n)W=0:2*pi/1000:2*pi;定义离散域的基本频率W为数组，间距为2*pi/1000Xw=zeros(size(W);定义一个与W位数相等的数组for n=0:N-1Xw=Xw+f(n)*exp(-j*W*n);endxn=;对 f%(n) 函数做 DFT 变换for n=0:N-1xn(n+1)=f(n);end将%f(n)的值放进数组xn里面，便于最后画出xn的图像magXw=abs(Xw);定%义一个数组magXw，
7、将abw(Xw)的值赋给它angleXw= angle(Xw);%定义数组 angleXw, 将 angle(Xw) 的值赋给它figure(1);plot(xn,.-);xlabel(n); ylabel(x(n);%画出 xn 的图figure(2);k=0:1:N-1;plot(W,magXw,-)xlabel(W); ylabel(|X(W)|);画% 出 magXw 的图像figure(3);plot(W,angleXw,-);xlabel(W); ylabel(angle(X(W);画% 出 angleXw 的图像运行结果xn 图像：nX(W)的幅度图7-1.5W【分析】|1 -
8、0%1-(0% 21.51L1 10.5-11WX0-11g-0.5-11-1io ，2X)-(0詔n = 010.9e只|l-D.9e f可见 的幅度频谱有11T=1O个极大，11-1=10个极小。而 的相位则有11-1=10个极大，11-1=10JT JF个极小，并且相位在和，之间摆动。第（2）小题M文件源代码N=10; j=sqrt(-1);f=inline(2n,n);W=0:2*pi/1000:2*pi;Xw=zeros(size(W);for n=-N:N取点% 个数为11 个定%义 j 为复数单位%定义一个函数 f(n)定义离散域的基本频率，将其设置为间距为2*pi/1000的数
9、组 定义一个数组Xw,位数与W相等Xw=Xw+f(n)*exp(-j*W*n);end对f(n)函数做DTFT变换xn=;定%义一个数组 xnfor n=-N:Nxn(n+1+N)=f(n);end将f%(n)的值放进数组xn里面，便于最后画出xn的图像magXw=abs(Xw);将 X%(W) 的模值放进数组 magXwangleXw=angle(Xw);将 X%(W) 的相位放进数组 magXwfigure(1);plot(xn,.-);xlabel(n); ylabel(x(n);%画出 xn 的图figure(2);plot(W,magXw,-) xlabel(W); ylabel(|
10、X(w)|);画% 出 magXw 的图像figure(3);plot(W,angleXw,-);xlabel(W); ylabel(angle(X(w); %画出 angleXw 的图像xn 图像X(W)的幅度图2200200018001600w 140012001000800600Wx(w)的相位图W【分析】1 - 2ejnio=工2比广加y1 = - 10可见的幅度有一个极大值，一个极小值。的相位在 J?|J-之间来回振动，并且中间出现突变的 情况。2)已知序列x(n) = cos(0.82兀n) + 2 sin(兀n), 0 n 50 ,绘制x(n)及其离散傅立叶变换X(k) 的幅度、
11、相位图。【解答】思路：这是一道DFT的题，按照题目要求只需要取51个点即可。M 文件源代码N=51;取点%个数为50 个j=sqrt(-1);定义j为复数单位f=inline(cos(0.82*pi*n)+2*sin(pi*n),n);Xk=;定义%一个数组 XkW=2*pi/N;定义%离散域的基本频率for k=1:N定% 义一个函数 f(n)Xk(k)=0;for n=0:N-1Xk(k)=Xk(k)+f(n)*exp(-j*(k-1)*W*n);endendxn=;for n=0:N-1对f (%1)函数做DFT变换 定义%一个数组 xnxn(n+1)=f(n);endmagXk=;fo
12、r k=1:N将f(%i)的值放进数组xn里面，便于最后画出xn的图像 定义%一个数组 magXkmagXk(k)=abs(Xk(k);end将 X(%kW) 的模值放进数组 magXk定义%数组 angleXkangleXk=;for k=1:NangleXk(k)=angle(Xk(k);end将 X(%kW) 的相位放进数组 magXkfigure(1);plot(xn,.-);xlabel(n); ylabel(x(n); figure(2);k=0:1:N-1;plot(k,magXk,+-) xlabel(k); ylabel(|X(k)|);画% 出 magXk 的图像figur
13、e(3);plot(k,angleXk,x-); xlabel(k); ylabel(angle(X(k); 命令窗口中的运行及其结果：xn 图像画% 出 xn 的图画%出 angleXk 的图像-1010.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.81020405030n60Xk 的幅度图k(X+kXk 的相位图51015202530354045501 21 jfu.82iT - fcg嘟_11 一严r(_/ 0.82ft -1_阿+510 -1 -2 - -3L0【分析】XW = $伽阴伽+枚阿)J用d f严斶；宀4唏?FR)n(J可见A的幅度频谱拥有两个峰值，、的相位频谱在 川之间来回振动，且中间存在3个台阶式的向 下跳变，一个台阶式的向上跳变。3.设x(n) = sin(0.2兀n) + randn(n), 0 n N -1，其中，randn(n)为高斯白噪声。求出 N = 4m,m=2,3,4 的
