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1、导数知识点归纳及应用一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式C 0;（ C为常数） xnnxn1; (sin x) cosx； (cosx) sinx； (ex)ex；x、x . (a ) a In a ；1 In x ；x1 logax -logae.x例1:下列求导运算正确的是 （）A (x+ 丄)x112xB (log 2x), 1=xln 2CX ,x(3 )=3 log se2 /(x cosx)=-2xsinx2 导数的运算法则III法则 1: ( u v) u v .法则 2: (uv) uv uv.若C为常数,则（Cu） Cu.法则3:-vuv uvv2(v
2、0) o3. 复合函数的导数形如y=f （x ）的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解 求导 回代。法则：y / I x = y / lu | x 或者 f (x) f ( )*(x).练习：求下列各函数的导数:x x5 sinx（1）y2；x(2) y (x 1)(x 2)(x 3);“、x2 x(3) y sin 1 2cos 24(4) y11- x三、导数的几何意义线y=f (x)在点p (x 0, f (x 0)处的切线的斜率是f ( x 0 )。相应地，切线方程为yy0=f/(x0)(xx0)。例：曲线 f(x)= x33+ x- 2在p0处的切线平行于直线y= 4x-1，则
3、p0 点的坐标为()A (1,0)B (2,8)C (1,0) 和 (1, 4)D (2,8) 和( 1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1) 如果f(x)0，贝U f(x)在此区间上为增函数；如果f(x)0,贝U f (x)在此区间上为减函数。(2) 如果在某区间内 恒有f(x)0,则f (x)为常数。例：函数 f(x) x3 3x2 1是减函数的区间为 ()A (2, ) B ( ,2) C ( ,0) D(0, 2)2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正, 右侧为负； 曲线 在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正
4、；例：函数f (x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x3时取得极值，则a =()A 2B 3C4D53最值：在区间a , b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内连续函数f (x)不一定有最大值，例如 f (x) x3,x ( 1,1) 。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最 值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例： 函数 f(x) x3 3x
5、 1在闭区间 -3 ，0上的最大值、最小值分别是 .(数学选修1-1)第一章导数及其应用基础训练组一、选择题33. 函数y二x + X的递增区间是()A (0,) B . (,1) C . (,) D . (1,)4. f(x) ax3 3x2 2,若 f( 1) 4,则 a 的值等于()19161310A.BC.D3 33 36.函数 y x4 4x3在区间2,3上的最小值为()A. 72B.36C. 12D.0二、填空题1若 f (x) X3,f(Xo)3，则 xo 的值为 2曲线y x3 4x在点(1, 3)处的切线倾斜角为 ;sin x3函数y 的导数为；x4. 曲线y Inx在点M(
6、e,1)处的切线的斜率是 ，切线的方程为 5函数y x3 x2 5x 5的单调递增区间是 。三、解答题1求垂直于直线2x 6y 10并且与曲线y x3 3x25相切的直线方程。3求函数f (x) x5 5x4 5x31 在区间1,4上的最大值与最小值。4.已知函数y ax3bx2，当x 1时，有极大值3 ；(1)求a,b的值；(2)求函数y的极小值。例1.已知函数y xf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中 y f (x)的图象大致是()32例2已知函数f (x) x bx ax d的图象过点P( 0,2),且在点M( 1, f ( 1)处的切线方程
7、为6x y 70.例4.设函数f x x3 bx2(i)求b、c的值。例 5.已知 f (x) =x3 ax2(i)求函数y f (x)的解析式；(n)求函数y f (x)的单调区间.cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(n)求g(x)的单调区间与极值。2bx c在x=1, x=时，都取得极值。求 a、b的值。3例 7:已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex(x R),其中 a R(1) 当a 0时，求曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线的斜率;2(2) 当a 时，求函数f(x)的单调区间与极值。导数知识点归纳及应用 教师一、相关概念1导数的
8、概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式C 0;( C为常数) xnnxn1; (sin x) cosx；(cosx) sinx；(ex)x e ；(ax)a I n a ；In x15x loga1.x -logae.x例1 :下列求导运算正确的是1. . 11A (x+)12B (log 2x)=xxx I n 2解析:1A 错， (x+)112xxB正确， (log2X)=1xln 2C错， (3x)=3x| n3D错，T (x 2cosx)2=2xcosx+ x (-sinx)2 导数的运算法则()一x ,x2C (3 )=3 log seD (x cosx)=-2xs inx法则1:
9、(u v)u v.法则2:(uv)1 1 u v uv .若C为常数，则(Cu)法则3:uuv uv /2(v0)。vv3.复合函数的导数Cu.形如y=f (x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导 回代。法则：y / 丨 x = y / lu | x 或者 f (x) f ( )*(x).练习：求下列各函数的导数:(1) y.x x5 sin x2x(2) y (x 1)(x 2)(x 3);(3) yx2 .sin 1 2 cos ;2(4) y解：(1) T y1x2x5sinx2 xx3sin xx-y (x32)(x3) (x 2 sinx)52 3x2 2x 3sin
10、x x(2)y=(X2+3x+2) (x+3)=x3x2322+6x+11x+6,. y =3x +12x+11.22 COSx.(3 )Ty=.xsin2x cos2-sin x,21sinx21(sin x)21 COSx.2(4)2(1 x)(1 x)22(1 x)21 x 1 x 2(1.x)(1. x) 1 x 四、导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f (x)在点p (x 0，f (x 0)处的切线的斜率是f (x0)。相应地，切线方程为 y y 0 =f (x 0) (x x
11、。) o例：曲线f (x) = x3 + x- 2在po处的切线平行于直线 y二4x- 1,贝U po点的坐标为()A (1,0)B (2,8)C. (1,0)和(1, 4) D. (2,8)和(1, 4)四、导数的应用1.函数的单调性与导数(1) 如果f(x)0，贝U f (x)在此区间上为增函数；如果f(x)0,贝U f (x)在此区间上为减函数。(2) 如果在某区间内 恒有f(x)0,则f (x)为常数。例:函数f(x) x3 3x21是减函数的区间为()A (2,) B. (,2) C (,0)D (0, 2)解析:由 f/(x) 3x2 6x 0,得 0x2函数f(x) x3 3x2
12、1是减函数的区间为(0, 2)2 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数 f(x) x3ax23x9,已知f (x)在x3时取得极值，则 a= ()A2B3C 4 D5 解析 ：- f/(x)3x2 2ax3，又 f (x)在x3时取得极值 f/( 3)30 6a 0则a =53最值：在区间a , b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内连续函数f (x)不一定有最大值，例如 f(x) x3,x ( 1,1)。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最 值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数 f(x) x3 3x 1在闭区间 -3 ， 0上的最大值、最小值分别是
