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1、实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉 MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。2. 利用 MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。基础知识及MATLAB 函根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在 s 平面上的 变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K。课本中介绍的手工绘制根轨迹 的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图, 并可观测参数变化对特征根位置的影响。假设系统的对象模型可以表示为b sm + b sm-i hf b s + bG（s）
2、二 KG （s）二 K-2m 十0sn + a sn-i f f b s + a1n-1n系统的闭环特征方程可以写成：1 + KGo（s）二0对每一个 K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变 K 的数 值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K的取值下得出的极点位置按 照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称 为系统的根轨迹。1）绘制系统的根轨迹 rlocus（）MATLAB中绘制根轨迹的函数调用格式为：rlocus(num,den)开环增益k的范围自动设定。rlocus(num,den,k)开环增益k的范围人工设定。rlocus(p,z)依
3、据开环零极点绘制根轨迹。r=rlocus(num,den)r,k=rlocus(num,den)不作图，返回闭环根矩阵。不作图，返回闭环根矩阵 r 和对应的开环增益向量 k。其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s的 降幂排列。K为根轨迹增益，可设定增益范围。(s +1)s 3 + 4s 2 + 2s + 9，绘制系统的根例3-1：已知系统的开环传递函数G(s) = K* 轨迹的MATLAB的调用语句如下：num=1 1; den=1 4 2 9; rlocus (num,den) grid%定义分子多项式%定义分母多项式%绘制系统的根轨迹%画网格标度线%给图形加
4、上标题名3-l-1 -DS 闭田3：xlabel(Real Axis),ylabel(Imaginary Axis)%给坐标轴加上说明title(Root Locus)则该系统的根轨迹如图3-1所示:图3-1系统的完整根轨迹图形图3-2特定增益范围内的根轨迹图形若上例要绘制在(1,10)的根轨迹图，则此时的MATLAB的调用格式 如下，对应的根轨迹如图3-2所示。num=1 1;den=1 4 2 9;k=l:0.5:10;rlocus (num,den,k)2)确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind()在MATLAB中，提供了 rlocfind函数获取与特定的复根对应的增益K的 值
5、。在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K和闭环根r (向量)的值。 该函数的调用格式为：k,r=rlocfind(num,den)执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus(num,den),作出根轨迹图。执行rlocfind 命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics windoW，即要求在 根轨迹图上选定闭环极点。将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根 轨迹图上出现“ + ”标记，即得到该点的增益K和闭环根r的返回变量值。s 2 + 5s + 6例3-2:系统的开环传递函数为G(s) = K*，试求：(1)系s 3 + 8s 2 + 3s
6、+ 25统的根轨迹；(2)系统稳定的K的范围；(3)K=1时闭环系统阶跃响应曲线。贝V此时的MATLAB的调用格式为：G=tf(1,5,6,1,8,3,25);k,r=rlocfind(G)%确定临界稳定时的增益值k和对应rlocus (G);%绘制系统的根轨迹的极点rG_c=feedback(G1)；%形成单位负反馈闭环系统step(G_c)%绘制闭环系统的阶跃响应曲线则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。其中，调用rlocfind ()函数，求出系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为0.0264，故系统稳定的K的范围为K e (0.0264,)。(a)根轨迹图形IDf
7、t二实验内容图3-2(b) K=1时的阶跃响应曲线 系统的根轨迹和阶跃响应曲线请绘制下面系统的根轨迹曲线Ks(s 2 + 2 s + 2)( s 2 + 6s +13)K (s +12)(s +1)( s 2 +12 s +100)( s +10)K (0.05s +1)s(0.0714 s +1)(0.012 s 2 + 0.1s +1)同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。1.1,程序代码num二0,0,0,0,0,l;%定义分子多项式den二1,8,27,38,26,0;%定义分母多项rlocus(num,den); %绘制系统的根轨迹grid%画网格标度线k,r=rl
8、ocfind(num,den)xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis) titl e(Ro ot Locus);1. 2,截屏图r) Figure： 1ClfnlfxTile Edit FiiV Insert T ools Desk tup Tfindow Help e afe凤氓鹭同如搖凰 d 旦Nij t e new t : ulb:ai- but t utlz :data bruzhi ne & 1 i rike drilotz aFliiV vid已DReal AxisW_E A1T5匚rJlnE-k = 0.6981r =-2.9946 + 2
9、.0027i;-2.9946 2.0027i; -0.9914 + 0.9696i; -0.9914 0.9696i; -0.0280k =0.8946r = -2.9931 + 2.0035i;-2.9931 - 2.0035i; -0.9887 + 0.9607i;-0.9887 - 0.9607i;-0.0363 k = 31.48291.0144ik =40.4848r =-2.7794 + 2.2469i；-2.7794 - 2.2469i；-2.6459 ；0.1024 + 1.0897i； 0.1024 -1.0897i1.3,分析可知k的范围是(0698140.4848)2丄程
10、序代码%定义分子多项式%定义分母多项%绘制系统的根轨迹num二0,0,0,1,12;den二1,23,121,1220,1000; rlocus(num,den); grid k,r=rlocfind(num,den) xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis); titl e(Ro ot Locus);2. 2,截屏图F i gar eEile Edi + ew Iret：rt LooIe IleEktop jli ndow Help題目辎霰 B b 3a7-.2030；0:匪-3Q-35-3D-25-20-15-1D-EReal Axis.5&20lk
11、 =18. 4941r = -19.8919 -1.0151 + 7.4803i-1.0151-7.4803i-1.0780k =110.5021 r =-19.9853 -0.5160 + 7.6445i-0.5160 7.6445i -1.9826k =194.8401r =-20.0707-0.1144 + 7.8470i-0.1144 - 7.8470i-2.7005k =273.5006r =-20.1500 0.2109 + 8.0566i0.2109 - 8.0566i-3.27172.3，分析可知：k 的范围是(18.4941273.5006)3丄程序代码num=0,0,0,0
12、.05,l;%定义分子多项式den二0.0008568,0.01914,0.1714,1,0;%定义分母多项rlocus(num,den); grid%绘制系统的根轨迹k,r=rlocfind(num,den)xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis); titl e(Ro ot Locus);3. 2,截屏图Elie Edi + Yi ew Iret：rt LooIe IleEktop jli ndow HelpF i gar e題目辎霰 B B 40XY AJISL1_&SU1-4a-4D-20-1D0Real Axis11 2020o o oo o-
13、2k =0.5225 r =-13.9230 -3.9290 + 7.9404i-3.9290 - 7.9404i-0.5580k =3.3944r =-13.3489 -2.0233 + 7.4794i-2.0233 - 7.4794i-4.9434k =7.6385r =-0.0916+8.4713i-0.0916-8.4713i -11.0779 + 1.2238i-11.0779 - 1.2238ik =8.4866r = -11.3214+1.8886i-11.3214-1.8886i0.1519+8.6696i0.1519-8.6696i3.3,分析可知：k的范围是(0.5225,
14、8.4866)三，实验体会与总结：通过自动控制原理实验的学习与调试，使我学习和了解了许多知识。 首先是对关自动控制原理相关的知识点有了更深刻的理解，原本课本上不 是很懂得知识点许多都得到了相应的解答；其次是对这门课有了新的认识 和理解，原本不知道学习这门课有什么作用，觉得无聊，不过现在才发现 学习、掌握好这门课不仅可以使我们队信号处理的过程与原理有了根本的 理解和应用，而且可以方便的利用相关知识去理解和解答相关疑难问题； 更重要的事学习和掌握了许多相关matlab软件的应用方法和知识，在学习 技能和方法上使得自己有了更高的进步，掌握了又多一门的学习技能和方 法，为以后学习和应用打下了相关的基础知识与根基，相信在以后的学习 和生后中都将受益。不过，我也从中认识到自己在相关知识领域的认识不足和缺陷，不过 通过实验的过程都有所了解和体会，在以后的学习过程中就会多方面去注 意，查漏补缺。综合而言，这门课的实验课给了我一个愉快的，丰厚的过程。感谢这 门课所带给我的巨大作用，同时感谢指导老师耐心细致的开导与指点，此 致敬礼。
