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1、6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系6.1.1 地球椭球的基本几何参数地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地 测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。地球椭球的几何定义：O是椭球中心，NS为旋转 轴，a为长半轴，b为短半轴。子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭 圆。纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆， 也叫平行圈。赤道：通过椭球中心的平行圈。地球椭球的五个基本几何参数：椭
2、圆的长半轴a 椭圆的短半轴b椭圆的扁率= 口ai椭圆的第一偏心率e2 b2a椭圆的第二偏心率e二52 b2b其中a、b称为长度元素；扁率a反映了椭球体的扁平程度。偏心率e和是子午椭圆 的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球 愈扁。两个常用的辅助函数， W 第一基本纬度函数， V 第二基本纬度函数：W =、1 - e 2 sin 2 BV = v1 + e12 C0S2 B我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。几种常见的椭球体参
3、数值克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体a6 378 245.000 000 000 0 (m)6 378 140.000 000 000 0 (m)6 378 137.000 000 000 0 (m)b6 356 863.018 773 047 3 (m)6 356 755.288 157 528 7 (m)6 356 752.314 2 (m)c6 399 698.901 782 711 0 (m)6 399 596.651 988 010 5 (m)6 399 593.625 8 (m)a1 / 298.31 / 298.2571/298.257 223 563e
4、20.006 693 421 622 9660.006 694 384 999 5880.006 694 379 901 3e 20.006 738 525 414 6830.006 739 501 819 4730.006 739 496 742 276.1.2 地球椭球参数间的相互关系其他元素之间的关系式如下：a =1 + e2, b = a 1 一e2c = aI b丿W 2 = 1 一 e 2 sin2 B = （1 一 e 2 ）V 2V 2 = 1 +q 2 = （1 + e2）W 2式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1
5、大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角 L，叫做P点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正, 叫东经（0180）,向西为负，叫西经（0小180）。 P点的法线P与赤道面的夹角B，叫做P点的大地纬度。n 由赤道面起算，向北为正，叫北纬（090）；向南为 负，叫南纬（090 ）。大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H 表示地面点位的。过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正,叫东经（0 180），向西为负，叫西经（0 -180）。过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。 由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0 90），向南
6、为 负，叫南纬（0 -90）。从地面点P沿椭球法线到椭 球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P点的位置 用 L , B 表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除 L, B外，还要附加另一参数大地高H，它同正常高 H 及正高 H 有如下关系正常正H = H + （咼程异常）正常IH = H + N （大地水准面差距） 正6.2.2 空间直角坐标系以椭球体中心O为原点，起始子午面与赤道面交 线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭 球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O - XYZ，在 该坐标系中，P点的位置用X, Y, Z表示。地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心 （地心坐标系）或参考
7、椭球中心（参心坐标系），z轴 指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系。6.2.3子午面直角坐标系设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子 午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐 标系中，P点的位置用L,x, y表示。6.2.4 大地极坐标系M为椭球体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M为极点，MN为极轴，S为极半径，A为极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中P点的位置用S , A表示。 椭球面上点的极坐标（S , A）与大地坐标（L,B ）可以互相换算，这种换算叫做大地
8、主题解算。6.2.5 各坐标系间的关系椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由 于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不 同。1. 子午面直角坐标系同大地坐标系的关 系过P点作法线P，它与x轴之夹角为B，n过P点作子午圈的切线TP，它与x轴的夹角 为（90 + B ）。子午面直角坐标x, y同大地纬 度 B 的关系式如下：a cos B a cos Bx =xi - e2sin2 B Wa(1 - e2) sin Ba “、. b sin By =.=w(1e 2)sin B =“1 - e 2 sin 2 B WV2. 空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系中的P P相当于子午平面
9、直角坐标系中的y，前者的OP?相当于后者的 x，并且二者的经度L相同:2X = xcosLY = x sin L Z = y3. 空间直角坐标系同大地坐标系的关系同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公 式转换。x =(N + H )cos B cos Ly=z=L = arctan x厂z + Ne 2 sin BB = arctanx2 + y2H = - N ( - e 2) sin B式中：e，可由长短半径按式e2得算2aN法线长度，可由式N = a / v1 - e2 sin2 B算得。6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面
10、的法线，包含这条法线的平面叫做法截面 法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面 相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于 圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。6.3.1 子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK = ds， 相应地有坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中 心，于是线段Dn及Kn便是子午圈曲率半径M。m = dSdB任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：子午圈曲率半径公式为：a(1 - e 2)W 3M = 或 M =V3V 2M 与纬度 B 有关它随 B 的增大而增大，变化规律
11、如下表所示：B - 0。0。 B 90。cM = a(1 - e 2)=.0(1 + e，2)3a(1 - e2) M cM90aP1 e 2说 明在赤道上，M小于赤道半径a此间M随纬度的增大而增大在极点上，M等于极点曲率半径c6.3.2 卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截 面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭 球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中 PEE即为过P点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径 用N表示。为了推导N的表达计算式，过P点作以O， 为中心的平行圈 PHK 的切线 PT ，该切线位于垂 直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于 子午面，故PT也是卯酉圈在P点
12、处的切线。即 PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈 PEE在P点处的公切线。卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：N =W6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为 0或 180。卯 酉法截弧是东西方向，其方位角为 90或 270。现在来讨 论方位角为A的任意法截弧的曲率半径R的计算公式。A任意方向A的法截弧的曲率半径的计算公式如下：NN1 +耳 2 cos 2 A 1 + e 2 cos 2 B cos 2 A7-87)6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适 当半径的球面。取过地面某点的所有方向 R 的平
13、均值来作为这个球体的半径是合适的。这A个球面的半径一一平均曲率半径R：R =MNW2V2v(1 - e 2)因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率 半径N的几何平均值。6.3.5 子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。如图所示,取子午线上某微分弧PP，= dx，令P点纬度为B，P点纬度为B + dB， P点的子午圈曲率半径为M，于是有：dx = MdB从赤道开始到任意纬度B的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：X =1 B MdB式中M可用下式表达：M = a 一 a cos 2B + a cos 4B 一
14、a cos 6B + a cos 8B02468m3535a = m +2 + m + m + m H0028 4 16 6 128 8mm157a =2 + 才 + m + m22232 6 16 8其中：m37a = 才 + m + m4816 6 32 8mma =6 +863216ma =8-8 128经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：aaaaX = a B-sin2B + r sm4B-sm6B + f sm8B02468为求子午线上两个纬度B及B间的弧长，只需按上式分别算出相应的X及X，而后取差:1 2 1 2AX = X -X，该AX即为所求的弧长。21克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：X = 111134.861B。-16036.480 sin 2B +16.828 sin 4B - 0.022 sin 6BX = 1111
