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1、word2007年考研数学二真题一选择题此题共10小题，每一小题4分，总分为40分，在每一小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内（1） 当时，与等价的无穷小量是 A. B. C. D.2函数在区间上的第一类连续点是( )A. 0 B. 1 C. D.在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设如此如下结论正确的答案是： .(4)设函数fx在x=0处连续，如下命题错误的答案是 ( )A. 假如存在，如此 B. 假如存在,C. 假如存在, 如此 D. 存在,5曲线渐近线的条数为 0 1 2 3(6)设函数在上具有二阶导数
2、，且, 令= 如此如下结论正确的答案是 ( )，如此必收敛 B. 假如，如此必发散 C. 假如，如此必收敛 D. 假如，如此必发散7二元函数在点0，0处可微的一个充分条件是 A. B. ，且C.D. 且8设函数连续，如此二次积分等于 9设向量组线形无关，如此如下向量组线形相关的是： ( ) A B C D10设矩阵A=，B=,如此A于B， (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二填空题：1116小题，每一小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上_.曲线上对应于的点处的法线斜率为_设函数，如此_.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y_
3、.设是二元可微函数，,如此.设矩阵，如此的秩为_.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设是区间上单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.18此题总分为11分 设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域.求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；当为何值时，最小？并求此最小值.19求微分方程满足初始条件的特解.20函数具有二阶导数，且1，函数由方程求，.(21)此题11分 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在使得.22此题总分为11分设二元函数计算二重积分其中(23)此题总分为11分设线性方程组与方程
4、有公共解，求的值与所有公共解 (24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.2007年考研数学二真题解析一选择题此题共10小题，每一小题4分，总分为40分，在每一小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内（2） 当时，与等价的无穷小量是 B A. B. C. D.2函数在区间上的第一类连续点是(A)A. 0 B. 1 C. D.在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设如此如下结论正确的答案是：C.(4)设函数fx在x=0处连
5、续，如下命题错误的答案是 (C)A. 假如存在，如此 B. 假如存在,C. 假如存在, 如此 D. 存在,5曲线渐近线的条数为 D 0 1 2 3(6)设函数在上具有二阶导数，且, 令= 如此如下结论正确的答案是 (D)，如此必收敛 B. 假如，如此必发散 C. 假如，如此必收敛 D. 假如，如此必发散7二元函数在点0，0处可微的一个充分条件是 BA. B. ，且C. D. 且8设函数连续，如此二次积分等于 B9设向量组线形无关，如此如下向量组线形相关的是： (A) A B C D10设矩阵A=，B=,如此A于B， B(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既
6、不合同，也不相似二填空题：1116小题，每一小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.曲线上对应于的点处的法线斜率为.设函数，如此.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y_.设是二元可微函数，,如此.设矩阵，如此的秩为_1_.三、解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设是区间上单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.【详解】：设如此. 如此原式可化为： 等式两边同时求导得：18此题总分为11分 设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域.求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；当为何值时，最小？并求此最小值.【详解】： 得
7、 故 即是唯一驻点，也是最小值点，最小值19求微分方程满足初始条件的特解.【详解】：设，如此代入得： 设 如此 即 由于 故 即 由或 特解为或20函数具有二阶导数，且1，函数由方程求，.【详解】：两边对求导得 得 当 故有此题11分 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在使得.【详解】：证明：设在内某点同时取得最大值，如此，此时的c就是所求点.假如两个函数取得最大值的点不同如此有设故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点0在区间内再用罗尔定理，即.22此题总分为11分设二元函数计算二重积分其中【详解】：D如图1所示，它关于x,y轴对称，对x,y均为
8、偶函数，得，其中是D的第一象限局部.22xyx1212y(1)(2)由于被积函数分块表示，将分成如图2：,且于是.而所以得此题总分为11分设线性方程组与方程有公共解，求的值与所有公共解.【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即矩阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的根底解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数矩阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：(24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.【详解】：可以很容易验证，于是 于是是矩阵B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以与B与A的关系得到，即， 所以B的全部特征值为2，1，1. 前面已经求得为B的属于2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下： 于是求得B的属于1的特征向量为令矩阵，如此，所以 /
