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1、专题突破练22圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.经过原点的直线与椭圆C:=1(ab0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点.若点F1在以|MN|为直径的圆内部,求k的取值范围.2.(2018湖南衡阳一模,文20)已知椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,过F1,F2作两条平行线l1,l2与C的上半部分分别交于
2、A,B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.3.已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:k0).(1)证明:k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.6.(2018山东潍坊一模,文20)抛物线E:x2=2py(0p,过P作圆C的两条切线分别交y轴于M,N两点,求PMN面积的最小值,并求出此时P点坐标.参考答案专题突破练22圆锥曲线中的最值、范围、证
3、明问题1.解 (1)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),P(x0,y0),点A,B,P三点均在椭圆上,=1,=1,作差得=-,kPAkPB=-=-=-1+e2=-,e=.(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),e=,a2=4b2,c2=3b2,联立得(1+4k2)x2-8ck2x+4c2k2-4b2=0,0,当点F1在以|MN|为直径的圆内部时,=(x3+c)(x4+c)+y3y40,(1+k2)x3x4+(c-ck2)(x3+x4)+c2+c2k20,得(1+k2)+(1-k2)+c2(1+k2)0,解得-k0.
4、y1+y2=,y1y2=-,|AD|=.又F2到l1的距离为d=,所以=12.令t=1,则,所以当t=1时,最大值为3.又(|AF1|+|BF2|)d=(|AF1|+|DF1|)d=|AD|d=,所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.3.(1)解 设M(x1,y1),则由题意知y10.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此AMN的面积SAMN=.(2)证明 将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x
5、1(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)单调递增.又f()=15-260,因此f(t)在(0,+)有唯一的零点,且零点k在(,2)内.所以k2.4.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y
6、3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.当t=4时,E的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此AMN的面积SAMN=.(2)由题意t3,k0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入=1得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.由x1(-)=得x1=,故|AM|=|x1+.由题设,直线AN的方程为y=-(x+),故同
7、理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t3等价于0,即0.由此得解得k2.因此k的取值范围是(,2).6.解 (1)由题意知F0,C(0,1),0p,1.设两切线斜率为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=.SPMN=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)|x0|=|k1-k2|,|k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2=,|k1-k2|=,则SPMN=,令2y0-1=t(t0),则y0=,SPMN=+12+1=2.当且仅当,即t=1时取等号,2y0-1=1,y0=1,此时点P坐标为(,1)或(-,1).PMN面积的最小值为2.
