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1、行星在椭圆轨道上运动的速度和能量【摘要】本文用万有引力和开普勒定律，结合椭圆的对称性，讨论了行星沿椭圆轨道运动 中速度的变化规律以及行星在运动中的能量变化情况。【关键词】行星运动的速度、椭圆轨道、行星、机械能守恒、动能、引力势能【正文】一、在近日点和远日点两个速度的比较行星经过近日点和远日点时，运动的曲率半径相同，这是因为椭圆具有对称性。这样的话， 设这个曲率半径是P，对于经过近日与远日点时分别有：（1）V 2 a -1a-21 P（2）由（1）（2）可得:GMv 2 a GM r 2r22即：（3）另外，在近日点时厂土ep1 + e在远日点时r=ep ep1 - e cos0 1 - e代入
2、（1）式有（4）上面的问题也可以按照下面的过程思考: 由开普勒第三定律知(5)已知行星在近日点和远日点无径向速度，故横向速度等于其合速度，有v = r0(6)将（6）代入（5）有:A = rv2对于近日点和远日点来说，有：rv = rv。稍做变形就可以得到上面的结果了，1 12 2从略。行星运动到一般位置的速度在极坐标中（7）v = r00（8）其中*、v0分别表示径向速度和横向速度。由椭圆方程=声!焉得:ep .=1 - e cos0 r两边对时间求导，有:丑=e sin 00r 2整理可得:r = 一sin 00（9）行星运动的速度为:r . r .V =1，V2 + v。= ： r2 +
3、In.r4、r 492sin2。2 + p 2r 2sin2 9=r 29 P2e 2 sin2 9G=r2。，+ te 2 p 2一* 、；e 2 sin2 9 +(1 ep，-e cos0 J2- e cos。rr 29 二一-入x 1 - 2e cos9 + e 2 ep即：v = ,1 - 2e cos9 + e2 ep(10) .这个结果中只有9是变量，其它都是常数，特别是9为常数。这表明:0 9k时，v是增函数，v随9的减小而增大；9 2兀时，v是减函数，v随9的增大而减小。实际上，由于r = _ep ，所以上面的结果也可以用r来说明：1 - ecos90 9k时，v是增函数，v随
4、r的减小而增大；丸9 2兀时，v是减函数，v随r的增大而减小。三、行星运动过程中的能量由动能的表达式及（10）式可知: ml - 2e cos9 + e 2J E k下面我们讨论行星运动中的掠面速度表达式:椭圆面积:S =兀 ab（12）其中a、b分别表示椭圆的长轴和短轴，对椭圆方程r =己焉来说，当9 = 0 时，r = pe-1 1 - e（13）( 11)当o =兀时，(14)pe r =2 1 + e如图1所示，r用红色的线段来表示，用绿色的线段来表示。可知:r + r = 2a （15）l由（13）（14）（15）可得:epa = 1 (16)b = ： a2 - c2 = (a2
5、- (ae J2 = a1 - e2 e y 1 e2（17）将（16）（17）式代入（12）式可知:ep1 e 2epv 1 e 2（18）掠面速度从而有:r 2O（19）将(19)式代入(11)可知:ml - 2e cosO + e 2)Ek4%e4 p 4T 21 - e 2Jep4兀2m V - 2e cosO + e 2JepT2上式中最后一个因子t出现在开普勒第三定律中，我们知道，它是一个常数，在这里我们 用k来表示这个值。有:（20）4兀 2k mI 一 2e cos 0 + 奏) 气-另外，由“从开普勒定律到牛顿万有引力定律”一文知道:GM = 4 兀 2k代入（20）式有:广
6、 GM mI一2ecos0 + e2)Ek 2(21) 下面求行星运动中的引力势能。我们采用传统的方法规定零势能点，即规定无穷远处势能为零。有:dr = -GMm - rGMm（22）将r=代入上式可得：GMm G - e cos 0 ）ep（23）由（20）（23）两式可得行星运动中的机械能总量GM ml - 2e cos0 + e2)GMm(1 +-e cos0)epGMm 11 - 2ecos0 + e2 - 2 + 2e cos0 2epGMm Ji)2epGMm i - e22 epGMm2a即:2aep（24）这个结果说明，对于质量相同的行星来说（或者对于质量相同的地球的卫星来说）:行星运动过程中机械能守恒;轨道半长轴相等的卫星的能量相等;半长轴为a的椭圆轨道上的行星能量与半径为a的圆轨道上运动的行星相同。下图是半长轴相等的椭圆族，在这些轨道上运动的质量相等的行星具有相等的能量。惊) 1-0.1 cos(e&6-(1-0.2)1-0.2 cos(e)1-o.j.iwm4?)部X1-0.4 CDS(6)efi-o.s1) 岫=-r;1-0 5 CCiB(ei)伺.52) 岫=7TT1-Q b-CDSfg) I润E6(1-0.72) 忒 6“r6-(14).S2).沔L(8=114).9 COW)gad) =1T.99COSK 句二零年四月中旬
