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1、B策略石头剪刀1. 两个零和对策问题 .两个儿童玩石头 -剪刀- 布的游戏，每人的出法只能在 石头- 剪刀- 布 选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势” ，也就 得出了各自的输赢 .若规定胜者得 1 分，负者得 -1 分，平手各得零分，则对于各种可能的局 势（每一局势得分之和为零即零和） ，试用赢得矩阵来表示的 A 得分.策石头0策略策剪刀 1布布110删了 2. 有 6 名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手 1 胜选手 2，4，5，6 负于 3；选 手 2 胜选手 4，5， 6 负于 1，3；选手 3 胜选手 1， 2，4 负于 5，6；选手 4 胜选手 5， 6
2、 负于 1，2，3；选手 5胜选手 3，6负于 1，2，4；若胜一场得 1分，负一场得零分试用矩阵表示 输赢状况，并排序 .123456110111200111解311100 ，选手按胜多负少排序为 1 2 3 4 5 64000115001016001002. 某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵 A与矩阵B.且35721320A 2 0 4 3 ， B21570 1 2 30648试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量35721320解AB20432157012306481111233.设A111，B124，求 3AB2A 与 AtB111051111123111解
3、3AB3A31111242 1 111110511114. 某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量 用如下矩阵表示：若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为 10元，8 元，7元，试用矩阵的乘法求出以 何种方法获利最多 .10 7222AB25解 A 8 44 ，方法一获利最多7 5912105. 设 A，B，问1312（1）ABBA吗？（2）AB 2 A22ABB2吗?（3）AB A BA2B2吗？因为 AB34，12BA，所以 AB BA4638（2）A2BA222AB B2解（1） AB BA,因为A2 2AB B2 3868101016411812341
4、5272 2 2所以 A B 2 A2 2AB B2（3） A B A B A2 B2因为 A B 2 2 ，A B 0 22 5 0 1220206A B A B250109A2 B2 3 8 1 04 11 3 4故A B A BA2 B26. 举反例说明下列命题是错误的：（ 1） 若 A2 O ，则 A O ；7(2) 若 A A，则 A O 或 A E ;(3) 若 AX AY，且 A O，则 X Y .2O，而 A O ,1 0取 A 0o，有 A。，A E，而 A2A，1010(3)取 A，X00007.设A1 05求A2，A3,|,1III21010解AAA11321010A A
5、 A211由此推出Ak10k 2k1Y 1 0，有 X Y，而 AX AY. 0 1Ak.10 ；21 ；10 ；31 ；下面利用数学归纳法证明这个结论. 当k 1, k 2时，结论显然成立.假设k 1时结论成立，即有Ak 110k 11则对于k时，有Ak A 1 11A0 10k 111108.增加设A 01，求 Ak.00解首先观察kk k1 k(k1) k 22由此推测Ak0kkk 1(k2)00k1 k，故结论成立.用数学归纳法证明： 当k 2时，显然成立.假设k时成立，则k 1时,k k1由数学归纳法原理知：Ak00k(k 1) k 2 2k k1k8.设A B都是n阶对称矩阵，证明
6、ab是对称矩阵的充分必要条件是 abba.证明由已知：at abt b充分性：由ab ba，得ab btat，所以ab ab t即 ab是对称矩阵. 必要性：由 ab t ab得,BtAt AB所以 BA AB.删了9.设A B为n矩阵,且A为对称矩阵，证明BtAB也是对称矩阵.从而证明已知：At Abtabb baaBtAtB BtAB11.btab也是对称矩阵求下列矩阵的逆阵（a（1）、（ 3）用公式法和初等行变换法求解）2100a2On公式法:故 A1初等行变换法:所以a1故A 1存在从而A1cossinsincos 公式法；A 2, 故A 1存在On 0 改 4100032104321
7、210故A 2 1 1113X2104321 1 1|A1331A221671而A213A226A321初等行变换法:(4)由对角矩阵的性质知 A丄印 1a2210所以A1空312216711234100010341200认,0123010001230100改40012001000120010000100010001000101an10.解下列矩阵方程:(1)2111 13(2)X21074 3211101010 0143(3)100 X00 120100101 012021546解(1)X132 111X141 23120 1 101删了13.利用逆阵解下列线性方程组：12 3X11解(1)
8、方程组可表示为22 5X22351X33x1123111故x222520x335130X11从而有X20X30111X12方程组可表示为213X21325X30X1111125故X22131 0X332503X15故有X20X33102 1删了14.把矩阵203 1化为行最简形矩阵30431021o 1 02 2r121解2031r3 3r1 0 01330430 02015.设方阵A满足A2A 2EO，证明A与A2E均可逆，并求其逆矩阵证明由A2A2EO 得 A2 A 2E两端同时取行列式：A2A2即 |A|A E 2,故 |A 0所以A可逆,而A 2E A22 2A 2E A A 0故A
9、2E也可逆.由A2 A 2E O得所以A 1A(A E) 2A 1E，贝U A 1 丄(A E)2又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E所以(A 2E) 1(A 2E)(A 3E)4( A 2E) 11 1则 (A 2E) (3E A)4.改11.设方阵A满足A2 2A 5E O，证明A 3E可逆，并求其逆矩阵由 A2 2A 5E O 得 A3E A E2E，即3e1 A所以，a 1才A12.已知对给定方阵A，存在正整数k，成立Ak试证E1A可逆，并指出E A的表达式.证明E AkE A EA 川 Ak1 ，而 Ak所以 E A E A |Ak 1E，贝U E A 1 = E川A解因为A 1Aa，
