第三章导数与微分

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1、第三章 导数与微分本章教学内容函数是微积分学研究的对象，极限论是研究函数的重要工具，也可以说是微 积分学的基石有了极限的概念就可以精确刻画函数的连续性了连续函数是微 积分研究的主要对象本章研究一元函数y = f (x)的变化率以及局部改变量的线性估值问题，这就 是导数和微分的概念导数概念是通过平均变化率取极限而得到的微分虽然没 有直接应用极限，但y = f (x)在x处的微分dy， Ay - dy是当Ax趋于0时，Ax的 高阶无穷小量，无穷小量属于极限概念的范畴，蕴含着lim Ay - dy = 0，因此说本AxtO Ax 章是利用极限引入了一元函数微积分两个最重要而又最基本的概念：导数与微分

2、本章重点讲授导数和微分的概念、导数的运算法则以及求导的基本方法，而 这些基本方法又基于对导数基本公式的熟练掌握本章讲授的内容是以后各章的基础中值定理，利用导数研究函数的性态， 求极值，求曲线的切线方程，原函数的概念，原函数存在定理，求幂级数的和函 数，多元函数的微积分学以及微分方程等都离不开导数和微分的概念及其计算教学思路1基本概念要讲透：导数，微分，高阶导数基本定理要使学生懂：可导和连续的关系定理 3.1 基本计算要让学生会：重点是导数的计算概括地说，就是一要懂，二要会对学生而言是基本的教学要求，对教师而 言是基本的教学思路2. 微积分的教学具有技术教育和素质教育的双重任务正如美国数学家，数

3、 学教育家R.柯朗所指出的那样：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成 果之一，它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教育的特别有效 的工具，遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是 一件撼人心灵的智力奋斗的结晶”因此，在我们的教学教学思想中不可忽视数学教育中的文化素质教育的性质教学安排本章教学时数为 6 学时，课时分配如下：3.1 引出导数概念的例题 3.2 导数概念2 学时3.3 导数的基本公式与运算法则2 学时3.4 高阶导数 3.5 微分2 学时教学目标理解导数的概念，导数的几何意义；熟练掌握导数的运算法则和基本初等函 数的求导公式通过反复训练，使学

4、生能熟练地进行导数的计算理解微分的概念，掌握可导和可微的关系，可微和连续的关系，以及一阶微 分形式的不变性熟练掌握求可微函数微分的方法及微分在近似计算中的简单应 用3.1 引出导数概念的例题 3.2 导数概念教学内容：本次课要讲授3.1 和3.2 两小节的内容,包括引入导数概念的 两个例子,导数的概念,导数的几何意义,左、右导数的概念，可导和连续的关系教学重点：函数y = f(x)在一点的导数以及导函数的概念.教学难点：1对导函数的理解.2利用导数的定义计算分段函数在分段点处的导数.教法建议：1. 本次课的内容较多，重点要突出，安排要紧凑2. 指出导数定义表达式的多种形式，如“ ) f (x)

5、 - f (x ) f (x ) = limo0x xox - x 0尤其是f(0) = lim f (x) - f (0)xtOx此处，可将习题三(B)的1, 2题作课堂练习.3. 教材 3.2中的例2、例3、例4中只讲“例4. y二託,并求y =、况在(1,1) 处的切线方程”最后一个分段函数的例子要讲透 1 04. 函数f(x) = rsinxx丰，在x二o处连续而不可导是一个典型的例0, x = 0子为了加强对概念的理解，指导学生有意识地记住一些典型实例 又如 f (x) =1 x I，在x = 0处左、右导数存在但不可导.此处，可补充一个例子，已知 f (x) = x2x - 1，在

6、x = 1处连续、可导，问a, b应取何值？让学生讨论.ax + b,x 1本次课的重点在于概念，选取的例题要简单而又能说明问题.3.3 导数的基本公式和运算法则教学内容：导数的运算法则，复合函数求导法，隐函数求导法，取对数求导 法，反函数求导法以及基本初等函数的求导公式.教学重点：复合函数求导法.教学难点：隐函数求导法、抽象函数的复合函数的求导.教法建议：1. 提出问题：在理解、掌握了导数的定义之后，首先要解决的一个重要且 基本的问题，就是如何计算函数的导数.解决这个问题的基本思路是先得出基本 的初等函数的导数公式(导数的基本公式)，通过导数的四则运算及复合函数的求 导法则，基本上就可以解决

7、初等函数的求导问题.能否熟练的掌握导数的基本公式以及导数的计算，对后续学习的影响极大.引 导、督促学生强化导数计算的训练是本章教学及教学组织的重中之重课后的习 题至少 12、13、14、19、21、22、23、24 要求学生全做全交(教师不一定全批全 改)最好再补充一些练习题2 本节教材内容层次清楚，目的明确，除可以更改或补充适当的例题之外 按教材安排的次序逐一讲解、点评就可以取得希望的教学效果下面的例子是一个典型的例子：1 0f (x) = r sin X x丰,f (x)处处可导，当然处处连续，f(0) = 0，但导 0, X = 0函数f(x)在x = 0处间断.3. 由方程P(x,y)

8、 = 0确定y是变量x的函数称之为隐函数：Vx e D(f)，由方程P(x, y) = 0确定唯一的一个实数y与之对应.因此仍然是一个对应规则.隐函 数仍然是函数，仅仅表示的方式不同而已.隐函数求导的四个要点：(1) 方程的两边同时对变量x求导；(2) 其中y是x的函数，如1 ,y2,ey等均是x的复合函数，因此要用到复合函y数求导法则；(3) 由此得到含有x, y,y的代数方程，解出y； 对于给定的x其函数值y由方程P(x,y) = 0确定.例 设y = f (x)是由方程exy = x + y + e - 2确定的隐函数，求yI = f (1)的值.x=1解：在方程exy = x + y

9、+ e - 2两边同时对变量x求导，注意其中y是x的函数,得到exy (y + xy) = 1 + y由此解得ye xy - 1 y 1- xexy当x二1时，代入原方程得ey = 1 + y + e 2.e 1故 yl =1.x=11 e4. 强调幂指函数的求导方法.学生易犯这样的错误：(xx)二x-xx1，滥用了幂函数的求导公式.一般地，y = g(x)f(x)= ef(x)ing(x)(g(x) 0 且 g(x)丰 1)或lny = f (x)lng(x)，再由复合函数的求导法求导.5. 隐函数求导法.取对数求导法实质上是由复合函数求导法派生而得.反函数求导法主要用在求出反三角函数的导数

10、公式.因此复合函数求导法是重点，经过反复练习学生才能熟练掌握.为了加深对复合函数求导法的理解，可举下例 让学生讨论；计算下面的导数d sin x , d sin x , d sin xdx d(x2)d(x3)6. 抽象函数的复合函数的求导问题是一个难点.(1) 如讲f (lnx)的导数，不妨和sinlnx的导数计算过程类比，f可以代表sin等等，让学生接受抽象的函数符号 f.(2) 指出f(lnx)和f (lnx)两个符号其含义是不同的.f(lnx)表示f (lnx)对中间变量u二lnx求导，而f (ln x)表示对变量x求导.3.4 高阶导数 3.5 微分教学内容：高阶导数、微分的概念及计

11、算.教学重点：1. 基本初等函数ex,sinx,cosx的n阶导数；2. 微分的概念.教学难点：微分的概念及在近似计算中的应用.教法建议：1. 为了加深对高阶导数的理解，可用已知一质点作直线运动的位置函数s = s(t)，求其瞬时加速度a(t)的例子本节只要求学生会求二、三阶导数，此处 可补充一例：求y二ln(1 + lx2 +1)的二阶导数.掌握ex,sin x,cosx的n阶导数公式， 以备在第七章中应用.至于一般函数的n阶导数只需完成习题三.33题即可.2. 可微的概念比较抽象，因此是学生难以理解和接受的概念之一.(1) 在讲述定义3.3时,应指出可微和微分这两个概念是有区别的.设y =

12、 f (x), 若函数在自变量x处获得增量Ax，而函数增量Ay = f (x + Ax)-f (x)可表示为Ay = A Ax + o(Ax)(Ax T 0)其中A与x有关而与Ax无关，这一事实称函数y = f (x)在x处可微，而上式中 的AAx称作函数在点x处的微分，记为dy = AAx，AAx又称为Ay的线性主部.(2) 为何要引入微分这一概念呢？事实上，对于函数y = f (x)，当自变量x取 得增量Ax时，相应的函数也取得增量Ay = f (x + Ax) - f (x)，当x取定时它是Ax的 函数，一般来说，Ay和Ax之间的函数关系很复杂，因而求Ay也是很困难的，但 如果Ay能分解

13、为两部分，一部分是Ax的线性函数，记为AAx，A只与x有关，另 一部分是Ax的高阶无穷小，因此当Ax很小时，完全可以用Ax的线性函数AAx作 为Ay的近似值，同时又保证一定的精确性.这就是所谓函数在x处局部改变量的 线性估值问题 ，由此抽象出微分的概念.(3) 为加深对微分概念的理解，归纳如下： dy q Ay， dy是Ay的近似值. Ay - dy = o(Ax) (Ax T 0)，其误差是Ax的高阶无穷小. 当 dy 丰 0 时，lim - = 1，即 Ay dy (Ax T 0).当 Ax T 0 时，Ay 和 dy 是AxtO dy等价无穷小.(4) 应指出微分的几何意义，对微分有个直

14、观的了解在x的邻域内，用函数在x处的切线(直线)近似替代曲线y = f (x).在x处取0 0 0得增量Ax，则Ay是曲线y = f (x)的纵坐标的增量，而dy是在x处切线的纵坐标增量.M0o工Ayy = f (x)x x + Axx0 0(5) 导数和微分是两个不同的数学概念，但又有非常密切的量的关系从概念层面上说，可导和可微等价.从量方面说有dy = f(x)dx (dx = Ax)，这是计算 微分的公式.求导和求微分的方法统称为微分法.= f(x)，所以导数又称微商dx(微分之商).如 空叮二C0Sdx二 沁比用复合函数求导简单.d (x2)2xdx2x1、一阶微分形式的不变性dy =

15、 f (u)du，利用此性质计算微分是方便的2、微分在近似计算中的简单应用公式：f (x + Ax) q f (x ) + f(x )Ax0 0 0三要点：选取函数f (x)；取x，使f (x ),f(x )便于计算；取Ax，使0 0 0Ax 相对于 x 比较小01讨论函数 f(x)第三章测评题x22xx1在x 1处的连续性和可导性.(提示:x1先用定义计算 f (1),f (1).2. 设 函 数 g(x) 连 续在 X 0 处 可 导 且 g (0) 0,g (0)1 ， 若g (x) 2x f (x)xaX00连续，求a的值.3.求下列各函数的导数:(1) y 3sinx (sinx) 31e3(2) y(3) y x2 arctaf! sec