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1、-复变函数与积分变换 修订版主编：马柏林复旦大学课后习题答案 . z.-习题一1.用复数的代数形式a+ib表示以下复数.解解：解：解：2.求以下各复数的实部和虚部(z=x+iy)R); ：设z=x+iy那么,解：设z=x+iy,解：,解：,解：当时，；当时，3.求以下复数的模和共轭复数解：解：解：解：4、证明：当且仅当时，z才是实数证明：假设，设，那么有，从而有，即y=0z=x为实数假设z=x，x，那么命题成立5、设z,w，证明：证明6、设z,w，证明以下不等式并给出最后一个等式的几何解释证明：在上面第五题的证明已经证明了下面证 从而得证几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和7
2、.将以下复数表示为指数形式或三角形式解：其中解：其中解：解：.解：解：8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.i的三次根解：-1的三次根解：的平方根解：9.设. 证明：证明：，即又n2 z1从而11.设是圆周令,其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件.解：如下图因为=z: =0表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，那么CA过C作直线平行，那么有BCD=，ACB=90故-=90所以在处切于圆周T的关于的充要条件是-=9012.指出以下各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=表示负实轴(2)、|z-1|=|z|表示直线z=(3
3、)、1|z+i|Imz解：表示直线y=x的右下半平面5、Imz1，且|z|2解：表示圆盘的一弓形域。习题二1. 求映射下圆周的像.解：设那么 因为,所以所以 ,所以即，表示椭圆.2. 在映射下，以下z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或. 1； 2; (3) x=a, y=b.(a, b为实数)解：设所以(1) 记，那么映射成w平面虚轴上从O到4i的一段，即(2) 记，那么映成了w平面上扇形域，即(3) 记，那么将直线x=a映成了即是以原点为焦点，口向左的抛物线将y=b映成了 即是以原点为焦点，口向右抛物线如下图.3. 求以下极限. (1);解：令,那么.于是.(2) ;解：设z=x+y
4、i，那么有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.3 ；解：=.4 .解：因为所以.4. 讨论以下函数的连续性：(1) 解：因为,假设令y=kx,那么,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5. 以下函数在何处求导？并求其导数.(1) (n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.(2) .解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3) .解：f(z)除外处处可导，且.(4) .解：因为.所以f(
5、z)除z=0外处处可导，且.6. 试判断以下函数的可导性与解析性.(1) ;解：在全平面上可微.所以要使得， , 只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微.只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4) .解：设，那么所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7. 证明区域D满足以下条件之一的解析函数必为常数.(1) ;证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为
6、常数.(2) 解析.证明：设在D解析,那么而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数.(3) Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数.(4) Imf(z)=常数.证明：与3类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5. |f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C，对C进展讨论.假设C=0，那么u=0,v=0,f(z)=0为常数.假设C0，那么f(z)0,但，即u2+v2=C2那么两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f(z
7、)在D解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6) argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,于是得 C-R条件解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.所以.9. 试证以下函数在z平面上解析，并求其导数.(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.(2) .证明：处处可微，且所以,
8、所以f(z)处处可导，处处解析.10. 设求证：(1) f(z)在z=0处连续(2)f(z)在z=0处满足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在证明.(1)而同理f(z)在z=0处连续(2)考察极限当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有当z沿实轴趋向于零时，z=x，有它们分别为满足C-R条件(3)当z沿y=x趋向于零时，有不存在即f(z)在z=0处不可导11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，假设f(z)在区域D解析，求证在区域D1解析证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D解析所以u(x,y),v(x,y)在D可微且满足C-R方程，即，得故(x,y),(x
9、,y)在D1可微且满足C-R条件从而在D1解析13. 计算以下各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 设z沿通过原点的放射线趋于点，试讨论f(z)=z+ez的极限解：令z=rei，对于，z时，r故所以 15. 计算以下各值(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续设z=x+iy，在复平面可微故g(z)=|z|在复平面上处处不可导从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导f(z)在复
10、平面除原点及负实轴外处处连续17. 计算以下各值(1)(2)(3)18. 计算以下各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解以下方程(1) sinz=2解：(2)解：即(3)解：即(4)解：20. 假设z=x+iy，求证(1) sinz=sinxchy+icosxshy证明：(2)cosz=cosxchy-isinxshy证明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明：21. 证明当y时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大证明：而当y+时，e-y0，ey+有|sinz|当y-时，e-y+，ey0有|sin
11、z|同理得所以当y时有|cosz|习题三1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解 设直线段的方程为,那么. 故 2. 计算积分，其中积分路径C为(1) 从点0到点1+i的直线段;(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.解 (1)设. (2)设. 3. 计算积分，其中积分路径C为(1) 从点-i到点i的直线段;(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.解 (1)设. (2)设. 从到(3) 设. 从到6. 计算积分,其中为.解 在所围的区域解析从而故7. 计算积分,其中积分路径为1 2 34解：1在所围的
12、区域，只有一个奇点.2在所围的区域包含三个奇点.故3在所围的区域包含一个奇点,故4在所围的区域包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算以下积分. (1) (2) (3)(4) (5) (6)解 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 11. 计算积分,其中为(1) (2) (3)解 (1)(2)(3)16. 求以下积分的值,其中积分路径C均为|z|=1. (1) (2) (3)解 (1)(2)(3) 17. 计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的正向圆周解：(1)包含了奇点(2)包含了奇点,19. 验证以下函数为调和函数.解(1) 设,从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2) 设,从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明:,从而是调和函数.,从而是调和函数.但不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由以下各调和函数,求解析函数(1) (2)解 (1)因为所以 令y=0,上式变为从而(2)用线积分法，取x0,y0为(1,0)，有由，得C=023.设,其中各不一样，闭路C不通过,证明积分等于位于C的p(z)的零点的个数.证明: 不妨设闭路C的零点的个
