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1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编复数部分2019A 11、称一个复数数列为“有趣的”,若,且对任意正整数,均有,求最大的常数,使得对一切有趣的数列及任意正整数,均有。解析:考虑有趣的复数数列归纳地可知 由条件得(),解得(),因此,故()进而有记()则当为偶数时,记,由得。当为奇数时,记,由得,故当时,综上知满足要求。另一方面,当,(),时,易验证得为“有趣的”数列,此时,这表明,综上知。2019B 11. (本题满分20分)设复数数列满足:,且对任意正整数,均有,证明:对任意正整数,均有。证明:归纳地可知 由条件得(),解得(),因此,故()进而有记()则当为偶数时,记,由得
2、。当为奇数时,记,由得,故综上知结论获证。2018A 6、设复数满足,使得关于的方程有实根,则这样的复数的和为 答案:解析:设(,且)则原方程变为,所以,若,则,解得,检验得,即;若,则由知或,检验得:,代入 得,所以;综上满足条件的所有复数之和为2018B 8、已知复数满足,其中是给定的实数,则的实部是 (用含有的式子表示)答案: 解析:记,由复数的模的性质可知:,因此。于是解得。2017A 11、(本题满分20分)设复数满足,且,(其中表示复数的实部)求的最小值;求的最小值。解析:对,设,(),由条件知,因此:又当时,这表明的最小值为。对于,设,(),将对应到平面直角坐标系中的点,记是关于
3、轴的对称点,则,均位于双曲线的右支上。设分别是双曲线的左右焦点,易知。根据双曲线的定义,有,,进而得到: ,等号成立当且仅当位于线段上(例如,当时,恰是的中点)。综上可知,的最小值为。2017B 2、设复数满足,则的值为 答案:解析:设,由条件得,比较两边实虚部可得,解得:,故,进而.2016A 2、设复数,满足,其中是虚数单位,分别表示复数,的共轭复数,则的模为 答案:解析:由运算性质,因为与为实数,故,又,所以,从而因此,的模为2016B 3、已知复数满足(表示的共轭复数),则的所有可能值的积为 答案:解析:设由知,比较虚、实部得又由知,从而有即,进而于是,满足条件的复数的积为2015A
4、3、已知复数数列满足,其中为虚数单位,表示的共轭复数,则的值为 答案:2015 + 1007i解析:由己知得,对一切正整数n,有,于是2006*8、对一切,复数的模不超过,则实数的取值范围为 答案:解析:依题意,得 ()(对任意实数成立). 故 的取值范围为。2002*7、已知复数满足,若它们所对应向量的夹角为,则 答案:解析:由余弦定理得,可得 =2001*8、若复数满足,则 答案:解析:由3z1-2z2=可得本题也可设三角形式进行运算2000*6、设,则以为根的方程是( )A. B. C. D. 答案:B解析:由于,故都是方程的根又选B1999*8、已知,那么,复数的辐角主值是_ 答案:解
5、析: 的辐角主值。1999*二、(本题满分50分)给定实数,已知复数满足:,求的值。解析:记,则设,则,根据题设得,则其虚部(利用和差化积公式)即,得或或,所以或或,若,代入原式得,得或,此时。若,同理可得, 若,同理可得,综上所述,值有或或。1998*8、设复数 (),复数,在复平面上对应的三个点分别是,当不共线时,以线段,为两边的平行四边形的第四个顶点为,则点到原点距离的最大值是_.答案:解析:因为,即即当,即时,取得最大值1998*13、(本题满分20分)已知复数 (),求的共轭复数的辐角主值。解析:即当时,即1997*9、已知复数满足,则的幅角主值范围是 答案:,()解析:记,则等价于
6、,这个等式成立等价于关于的二次方程有正根所以,解得。即所以,() 辐角主值为1997*15、(本题满分20分)设非零复数满足:,其中为实数,。求证:复数在复平面上对应的点位于同一圆周上。证明:设,则由下式得得或,故,或 若,则得即 由已知,有,且令,()则,所以,又,即,所以,故() 再令,()同理可得或 若,则为实数此时此时,或此时,由,知此时, 若,仍有,故此五点在同一圆周上 若即,此时,即此五点在同一圆上综上可知,表示复数在复平面上所对应的点位于同一圆周上1996*8、复平面上非零复数在以为圆心为半径的圆上,的实部为零,的辐角主值为,则_答案:解析:满足;,得,设的辐角为(),则所以,若
7、其实部为0,则,于是,。1995*2、设复平面上单位圆内接正边形的个顶点所对应的复数依次为,则复数所对应的不同的点的个数是( ) A. B. C. D.答案:A解析:设,则,其中显然 共有4个值选A1995*7、设为一对共轭复数,若,且为实数,则_答案:解析:设,(),则 设,则可取,(因为只要求,故不必写出所有可能的角)则,于是1994*一、(本题满分25分)关于的二次方程,其中均是复数,且,设这个方程的两个根为,满足 ,求的最大值和最小值。解析:设 ()则设的平方根为(),即,即,所以,即,即表示复数的点在圆上,该点与原点距离的最大值为,最小值为1993*6、设为非零复数,为虚数单位,则方
8、程与在同一复平面内的图形(为焦点)是( )答案:B解析:方程为椭圆,为双曲线的一支二者的焦点均为,由,故否定A,由于为椭圆的长轴,而C中两个焦点与原点距离(分别表示)均小于椭圆长轴,故否定C由B与D知,椭圆的两个个焦点都在轴负半轴上,由为长轴,知,于是,曲线上一点到距离大,否定D,故选B1993*7、二次方程 (为虚数单位,)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为_答案:解析:即此方程没有实根的条件当时,此方程有两个复数根,若其有实根,则,且相减得当时,此二方程相同,且有两个虚根故在取值范围内当时,代入得即时,原方程有实根故所求范围是1993*9、若,则的值是_ _答案:解析:如图,可知表示复
9、数1992*5、设复数在复平面上对应的点分别为,且,为坐标原点,则的面积为( )A. B. C. D. 答案:A解析:注意到,的夹角为所以选A1992*10、设都是复数,且,则的值是_答案:解析:,即,或 1991*11设复数满足,则 答案:解析:由,得由于,故故1990*5设非零复数满足,则代数式的值是( )A. B. C.1 D.以上答案都不对答案:B解析:记或,其中且若,则得若,则得选B1989*1若是锐角ABC的两个内角,则复数在复平面内所对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案:B解析:由于故,所以,故,即点位于第二象限选B1988*11、(本题满分15分)复平面上动点的轨迹方程为,为定点,另一个动点满足,求点的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置。解析:,故得,即即以为圆心为半径的圆1986*2、 设为复数,那么( ) A B C D答案:B解析:即,即,得或,即为实数选B1985*5、 设为复数,关于的方程有下面四个结论:是这个方程的解; 这个方程只有一解;这个方程有两解; 这个方程有无穷多解则( )A只有、正确 B只有、正确 C只有、正确 D以上A、B、C都不正确 答案:A解析:原式两端取共轭:,乘以再取共轭:,相加,由,得方程有唯一解选A