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1、课时素养评价 二十八向量基本定理(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列叙述正确的是()A.若a,b共线,则存在唯一的实数,使a=bB.b=3a(a为非零向量),则a,b共线C.若m=3a+4b,n=a+2b,则mnD.若a+b+c=0,则a+b=-c【解析】选B,C,D.判断非零向量a与b共线的方法是:存在实数,使a=b.在A选项中,若a=b=0时不成立.所以A选项错误,B选项正确;在C选项中,m=2n,所以mn,所以C选项正确;D选项也正确.2.(2018全国卷I)在ABC中,AD为BC边上的中线,E
2、为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+【解析】选A.如图所示=-=-=-(+)=-.3.(2019日照高一检测)如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.如图不妨令a=,b=,则a-b=-=,由平行四边形法则可知=e1-3e2.4.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若= (R),则x,y满足的关系是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0【解析】选A.由=,得-=(-),即=(1+)-.又因为2=x+y,所以消去得x+y=2.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2019天水
3、高一检测)已知a,b不共线,且c=1a+2b(1,2R),若c与b共线,则1=_.【解析】因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又因为c与b共线,所以c=2b,所以1=0.答案:06.如图,在平面内有三个向量,|=|=1,与的夹角为120,与的夹角为30,|=5,设=m+n(m,nR),则m+n=_.【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,则COQ=OCP=90,在RtQOC中,2OQ=QC,|=5,则|=5,|=10,所以|=10,又|=|=1,所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.答案:15三、解答题(共26分)7.(12分)设a,b不共线,c
4、=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.【解析】假设存在唯一实数,使c=d,则2a-b=(3a-2b),即a+b=0.由a,b不共线得所以所以这样的是不存在的,从而c,d不共线,所以c,d能作为基底.8.(14分)如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值.【解析】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数,使=-e1-3e2,=2e1+e2,所以=-=(+2)e1+(3+)e2.又因为=+=2e1+3e2,所以解得所以=,即APPM=41. (15分钟
5、30分)1.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是()A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选D.由向量减法的三角形法则知,=-,排除B;由向量加法的平行四边形法则知,=+,=+,排除A,C.2.(4分)在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.依题意,设=,其中1,则有=+=+=+=(1-)+.又因为=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-,即x的取值范围是.3.(4分)已知e1,e
6、2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+e2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数的取值范围为_.【解析】若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+e2,由akb即得4.答案:(-,4)(4,+)4.(4分)若G是ABC的重心,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则+ =_.【解析】令=a,=b,则=-=-=-(a+b).=-=-=- =-b+a,=-=-= =-a+b,所以+=-a-b-b +a-a+b=0.答案:05.(14分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b为基底
7、,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=a+b,求,的值.【解析】(1)若a,b共线,则存在vR,使a=vb,则e1-2e2=v(e1+3e2).由e1,e2不共线,得所以v不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2.所以故所求,的值分别为3和1.1.在ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP
8、的交点为M,又=t,则t的值为_.【解析】因为=+,所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P为AB的一个三等分点,如图所示.因为A,M,Q三点共线,所以=x+(1-x)=+(x-1),而=-,所以=+.又=-=-+,由已知=t,可得+=t,又,不共线,所以解得t=.答案:2.设a,b是两个不共线的非零向量,记=a,=tb(tR),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线?【解析】因为=a,=tb,=(a+b),所以=-=tb-a,=-=(a+b)-a=b-a.因为A,B,C三点共线,所以存在实数,使=,即tb-a=由于a,b不共线,所以解得故当t=时,A,B,C三点共线.- 1 -
