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1、第六章 无穷级数6. 1 基本概念与性质一、 知识结构1、无穷级数的概念2、无穷级数的基本性质二、 考试大纲要求1、理解级数收敛、发散的概念。2、掌握级数收敛的必要条件、了解级数的基本性质。一、无穷级数的概念1、常数项级数: 给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式u1 + u2 + u3 + + un + 叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为, 即, 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 2、级数的部分和: 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 3、级数敛散性定义: (级数是否收敛就看部分和极限是否存在)如果级数的部分和数列有极限s, 即, 则称无
2、穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 4、余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做级数的余项. 例 判别无穷级数 的收敛性. 解 , 由于因此 从而, 所以这级数收敛, 它的和是1. 例 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中a0, q叫做级数的公比. 解 （1）如果|q|1, 则部分和. 当|q|1时, 因为, 所以此时级数发散. （2）如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na, 因此级数发散; 当q=-1时, 级数成为a-a+a-a+ , 时|q|=1时
3、, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述, 如果|q|1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|1, 则级数发散.（2005年试题）10：等比级数的和为 ( C )A4 B3 C2 D1解：根据上述结论：如果|q|1, 则级数收敛, 其和为；如果|q|1, 则级数发散。级数中，所以收敛，其和为：二、收敛级数的基本性质1、基本性质性质1 如果级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks. 性质2 如果级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为ss. 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的, 级数也是收敛的, 级数也是收敛的. 性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 2、 级数收敛的必要条件: 性质5 如果收敛, 则它的一般项un 趋于零, 即. 逆否命题：如果的一般项un 不趋于零, 即，则发散例 证明调和级数是发散的. 证 假若级数收敛且其和为s, sn是它的部分和. 显然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散.
