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1、1直线一级倒立摆数学模型的建立12直线一级倒立摆系统的实际模型53直线一级倒立摆系统的性能分析6相关理论的介绍6倒立摆系统的性能分析71直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内 部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。数学模型是分析、设计、预 测以及控制一个系统的理论基础。因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得 尤为重要。系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。实验建模 就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像 并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关 系。机理建
2、模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数 学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方 法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些 次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿 运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统 较为精确的数学模型。为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空 气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连 接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等
3、。将小车抽象为质点， 摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确 的数学模型。我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉一拉格朗日原理建立系 统的动力学模型。对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂 的牛顿力学分析法建模。为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F为加在小车上的力，M为小车质量，m为摆杆质量，I为摆杆惯量， l为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x为小车位移，。为摆杆与垂直向上方向的 夹角，b为小车在滑轨上所受的摩擦力，N和P为摆杆相互作用力的水平和垂直 方向的分量。分析小车水平方向上的合力，我们可以
4、得到以下的方程：Mx = F - bx - N(1)分析摆杆水平方向上的受力，我们可以得到如下的方程：N = m2(x +1 sin。)(2)dt 2即：N = mx + mlQ cos0 -mlQ2sin0(3)综合(2-1)和(2-3)，我们可以得到以下的动力学方程：(M + m)x + bx + ml0 cos 0 - ml0 2sin 0 = F(4) 分析摆杆垂直方向上的合力，我们可以得到如下的方程：P - mg = m4L(l cos0 )(5)dt 2即：P - mg = -ml0 sin 0 - ml0 2cos 0(6)根据摆杆的力矩平衡方程，可以得到如下的方程:-Pl si
5、n 0 - Nl cos 0 = IB在（7）式中我们令0为摆杆与垂直向下方向的夹角，则0=兀+。合并（6）与（7）我们可以得到以下的动力学方程：（I + ml2）9 + mgl sin 0 = -mlx cos 0（8） 因为倒立摆在保持垂直向方向上的平衡时的。很小，即81rad，则可以进行做近似处理：cos0=-1，sin0=-8，（竺F = 0。设u代表被控对象的输入I dt J力F，式（4）和式（8）经线性化后为:（l + ml2）8 - mgl8 = mlx（M + m ） x+bx 一 ml8 = u对式(2-7)进行拉普拉斯变化，得到以下的方程式:(I + ml2)(s)s2 -
6、mgl(s)= mlX (s)s2(10)(M + m)X (s)s2 + bX (s)s - ml(s)s2 = U (s)在（10）式中推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度8，求解方程组（10）的第一个方程可以得到：x（s）= +：）-g （s）（11）mls2令v = x，则有:(s)HZJml+ ml 2 )s 2 - mgl(12)将式（11）代入方程组（10）的第二个方程，可以得到:(M + m )件 + m/2) 一 g中(s)s2+b工+ g中(s)-ml(s)s2 = U (s)mlsmls 2(13)整理后等到以下的传递函数:ml* = )二 一U (s )bJ
7、+ ml 2)顷 + m )mglbmglqq q其中，q = (M + m )( + ml 2)- (ml )2 。设系统的状态空间方程为：x(，)=仙(，)+ Bu (t)y (t )= Cx (t)+ Du (t)(14)(15)对方程组(7)进行代数变换可得：x = x.-(i + ml 2 )bm2 gl 2X = I (M + m)+ Mml2 X + 0 有：（1）系统的每一平衡状态是在Lyapunov意义下稳定的充分必要条件 是，A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A 的最小多项式的单根。（2）系统的唯一平衡状态x广0是渐进稳定的充分必要条件是：A的所
8、有特征值具有负实部。定理2 （能控性判据）n阶线性定常连续系统X = AX + Bu状态完全能控当且仅当系统的能控性矩阵:M = B AB A2 BAn-1B(29)满秩，rank（M）= n。(30)定理3 （能观性判据）n阶线性定常连续系统 x （t ）= AX + Bu y（t）= cx状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵:V = Ct (CA)r(CA2)CAn-)(31)满秩，即 rank（V）= n。倒立摆系统的性能分析(32)倒立摆系统的状态方程为: 卜(t)= Ax(t)+ Bu (t) y (t)= Cx(t)+ Du (t)其中，A =-0100 -_ 0 -0000,B =100010_ 0029.40 _3将A的值带入特征方程det I - A = 0，经过计算可以得到系统的特征值:(33)人=0, X = 5.42系统有两重特征根在原点，有一个特征根在复频域的右半平面上，有一个特 征根在复频域的左半平面上，由定理1可知：直线一级倒立摆系统是不稳定的。 将A、B、C的值分别带入到M和V的表达式中，可以得到两个矩阵的秩rank （M）=rank（V）=4,与系统的阶数相同，由定理2、3可知：直线一级倒立摆 系统是能控、能观的。由以上分析，我们可以知道，直线一级倒立摆系统是不稳定的，但其又是能 控和能观的。
