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1、泛函分析部分知识点汇总度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x是一个集合，若对于x中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： d (x1 , y ) 0, d ( x , y ) = 0 的充要条件为x=y d (x2 , y ) d ( x , z ) + d ( y , z ) 对任意的z都成立， 则称
2、d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 离散的度量空间 1,ifxyx, X设 x是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 y ，令 d(x,y)=0,ifx=y 称 ( X ,d ) 为离散的度量空间。 序列空间S 令S表示实数列的全体，对S中的任意两点 x=(x1,x2,.,xn,.),y=(h1,h2,.,hn,.), 1|x-h|令 d ( x , y ) = i i i 称 ( S , d ) 为序列空间。 i=121+|xi-hi| 有界函数空间B(A） 设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值函数
3、全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义 d(x,y)=sup|x(t)-y(t)|tA可测函数空间 设M(X)为X上实值的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，若 m ( X ) ，对任意两个可测函数 f (t ) 及 g(t)|f(t)-g(t)|dt) - g) | ，所以这是X上的可积函数。令 d(f,g)=由于 | f ( t ( t X1+|f(t)-g(t)|1 1+|f(t)-g(t)|Ca,b空间 令Ca,b 表示闭区间a,b上实值连续函数全体，对 Ca,b中任意两点x,y，定义 d(x,y)=max|x(t)-y(t)|atb二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点
4、列 设 x 是中点列，如果存在 x X ，使 limd(xn,x)=0nn则称点列 xn 是 中的收敛点列，x是点列 x 的极限。 n收敛点列性质： 在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。 M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。 2、收敛点列在具体空间中的意义 n 维欧式空间中： xm=(x1(m),x2(m),.,xnm(m),m=1,2,.,(m)为 R n 中的点列， x=(x1,x2,.,xn)Rnxi,(m)1inlimd(xm,x)=0xi即： m 依坐标收敛于 x 按欧式距离收敛于x 的充要条件是 xm序列空间S中： (m)limd(
5、xm,x)=0xixi(m), m Ca,b空间 设 x 及X分别为Ca,b 中的点列及点， d(x,x)=max|x(t)-x(t)|nnnatblimd(xn,x)=0xn在a,b上一致收敛于 xn 可测函数空间M(X) limd(fn,f)=0fn(t)f(t)设 f n 及 f分别为可测函数空间中的点列及点， n3、稠密集，可分空间 设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令 表示M的闭包，如果 E M ，那么称集M在集E中稠密。 等价定义： 如果E 中任何一点x 的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密。 E对任一 x ，有M中的点列 x n ，使得 xnx(n)当E=X时，称集
6、M为X的一个稠密子集。 如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间。 三、连续映射 1、度量空间中的连续性 设 X=(X,d)，Y= 是两个度量空间，T是X到Y中的映射, x0X,0) ，存在 d 0，使对X中一切满足 d ( x , x 0 %的x，成立 d ( Tx ,Tx 0 ) 0 ，存在正整数 N = N (e ) ，使当n，mN时，必有 d (x n , x m ) e 则称 x 是X中n的柯西点列或基本点列。 总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列。 2、完备的度量空间 如果度量空间(X,d)
7、中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间。 子空间完备性定理 完备度量空间X的子空间M，是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空间。 五、度量空间的完备化 1、等距同构映射 设(X,d)，( X% , d% ), 是两个度量空间，如果存在X到 X% 的保距映射T ，即 d % (Tx , Ty ) = d ( x , y) ，则称 (X,d) 和 ( X % , d% ), 等距同构，此时 T称为X 到上的等距同构映射。 六、压缩映射原理及其应用 作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关于存在唯一性的定理的证明中是一个有力的工具。 在介绍
8、压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点 1、压缩映射 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a ，0a1,使得对所有的x,y属于X，成立 d (Tx , Ty ) a d ( x , y ) 则称T是压缩映射。 几何意义：压缩映射就是使映射后距离缩短a倍的映射。 2、不动点 设X为一个集合，T是X到X的一个映射，如果 x * X ，使得 Tx * = x * ，则称x*为映射T的不动点。 3、压缩映射定理 设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。注意： a.完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点。 b.完备性是保证映射的不动点的存在，至于不动点的
9、唯一性，并不依赖于X的完备性。 压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列 x n x 0( n ) 必有 TxnTx0(n)X % 八、 赋范线性空间和巴拿赫空间 1、赋范线性空间 设X是实的线性空间，如果对于每个向量 x X ，有一个确定的实数，记为 x 与之对应，并且满足： 1 x 0 且 0 等价于x=0 x = 2 a x = a x 其中 a 为任意实数； 3 x + y x + y,x,yX则称 x 为向量 x 的范数，称X按范数成为赋范线性空间。 注：范数类似于普通向量的长度 2、关于极限的定义 设 是X中一点列，如果存在 x X ，使 |xn-x|0(n) xn则称 x n n x
10、 (n ) 或 limxn=x 依范数收敛于 x ，记为 xn3、赋范线性空间的性质 1赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间。 y ) = | x -如果令 d ( x , y |, (x , y X ), 可以验证 的d 是X上的距离。 xn依范数收敛于 x 等价于 x n 按距离收敛于x 称 d为由范数 | x | 导出的距离。 d(x-y,0)=d(x,y)度量和线性结构之间的协调性： d(ax,0)=|a|d(x,0) 2范数 | x | 是 x 的连续函数。 4、巴拿赫空间及常用例子 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。 欧式空间 R n ，对每个 x x R n ，定义 =
11、( x , x 2 ,.,)1n 22|x|=|x|+L+|x|1n 欧式空间 R n 按上述范数成Banach空间。 Ca,b |x|=max|x(t)|空间，对每个 x ，定义atb空间 Ca，b 按上述范数成Banach空间。 空间 l ，对每个 x = 1 , x 2 ,.) l ，定义 |x|=sup|xj|(xj空间 l 按上述范数成Banach空间。 第八章 有界线性算子和连续线性泛函 一、有界线性算子和连续线性泛函 1、线性算子和线性泛函的定义 设X和Y是两两个同为(或复)的线线性空,D(T)是X的线线性子空, T:D(T)Y,x,yX,及数,成立T(x+y)=Tx+Ty,则称
12、T是从D(T)到Y中的线的线性,其中D(T)称为T的定义定,T(D(T)称为T的值值,记作R(T).当R(T)是数域的子集时,则称T是实(或复)的线性泛函.2、有界线性算子和连续线性泛函 设X和Y是两两个赋范线性空,T:D(T)Y是线线性算,如果存在常数c,使得成立 Txcx,xD(T),则称T是D(T)到Y中的有界线的有界.否则,称为为无线性算子. 特别地,有界线界线性泛函是特有界线界线性.3、相关定理 定理1 设T是线性算子,则T有界的充分必要条件是定理2 设f是X上的线性泛函子空间.T连续 是N(f)是X中的闭,那么f在X上连续的充分必要条件4、有界线性算子的范数 设X,Y是两个赋范线性空间,T:D(T)XY是线性算子Tx),称
