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1、概率论与数理统计(专升本)综合测试3总分:100分考试时间:分钟单选题1. 从装有3个红球和2个白球的袋中任取两个球，记“取到两个白球”，则_ .(5分)(A): 取到两个红球(B): 至少取到一个白球(C): 没有取到白球(D): 至少取到一个红球参考答案：D2. 设，则下面结论正确的是 _ .(5分)(A): 事件与互相独立(B): 事件与互不相容(C):(D):参考答案：A3. 设服从均匀分布，且已知，则_ .(5分)(A): 1(B): 2(C): 3(D): 4参考答案：C4. 对于任意两个随机变量与, 若, 则必有 _ .(5分)(A):与独立(B):(C):与不独立(D):参考答
2、案：B5. 设与都是总体未知参数的无偏估计量，若比更有效，则应满足 _ .(5分)(A):(B):(C):(D):参考答案：D填空题6. 设事件互为对立事件，则_(1)_ ，_(2)_ .(5分)(1).参考答案:1(2).参考答案:07. 已知随机变量只能取0，1，2三个数值，其相应的概率依次为，则_(3)_ .(5分)(1).参考答案:28. 设, 若，则参数的值_(4)_ ，_(5)_ .(5分)(1).参考答案:6(2).参考答案:0.4问答题9. 设连续型随机变量的概率密度为，其中，又已知. 求的值.(10分)参考答案：由密度函数性质知：，由期望公式：，联立两方程，可得.Y X-10
3、100.070.180.1510.080.320.20解题思路：10. 设二维随机变量的联合分布律如表所示，试求：Y X-10100.070.180.1510.080.320.20(1)的边缘分布；(2).(10分)参考答案：（1）边缘分布为：，（2）期望：，.解题思路：11. 已知总体的概率密度为其中未知参数,为取自总体的一个样本(1) 求的矩估计量；(2) 说明该估计量是无偏估计(10分)参考答案：(1)由求矩估计的方法，先求总体的一阶矩，即总体的期望，再求样本的一阶矩，即样本均值，最后用样本矩去替代总体矩因为,，所以用去替代，得：；(2)由无偏估计的定义：，再由本题前面的计算结果可得：，
4、所以该估计量是无偏估计.解题思路：12. 随机从一批灯泡中抽查16个灯泡，测得其使用时数的平均值为=1500小时，样本方差小时, 设灯泡使用时数服从正态分布.试求均值的置信度为95%的置信区间 ( 附数据：，. )(10分)参考答案：此题是在方差未知的情况下求均值的置信度为95%的置信区间故选用T统计量，其置信区间的公式为：.现在已知：=1500，临界值可从所附数据得到，将已知数据全部代入公式，即得的置信度为95%的置信区间为：解题思路：13. 论大数定理与中心极限定理（1）数理统计是研究随机现象统计规律的数学学科，而随机现象的统计规律只有对大量随机现象进行观察才能显现出来.为了研究“大量”的
5、随机现象，通常采用极限的形式，这就需要研究极限定理，大数定律和中心极限定律是两个最重要的极限定理.请问：这两个定理主要揭示了哪两个基本原理？（2）什么是切比雪夫不等式？有什么意义？（3）本课程介绍了三个中心极限定理：林德-贝格三个中心极限定理、李雅普诺夫三个中心极限定理、德莫弗-拉普科斯三个中心极限定理.请问：这三个定理有什么样的区别？(20分)参考答案：（1）大数定理从理论上证明了随机现象的“频率稳定性”，并进一步推广到“算术平均值法则”.中心极限定理揭示了独立随机变量序列的和服从或近似服从正态分布.（2）切比雪夫不等式是：设随机变量具有期望，方差，则对于任意正数，总有：.它的意义在于不论随机变量服从什么分布，只要具有期望，方差，就可以估计它在某区间上的概率；（3）这三个定理是针对三种具有不同性质的随机变量序列讨论的.林德-贝格三个中心极限定理讨论的是独立同分布的随机变量序列；李雅普诺夫三个中心极限定理则推广到独立但不同分布的随机变量序列；而德莫弗-拉普科斯三个中心极限定理是针对二项分布中，趋于无穷大时随机变量的极限分布情况.解题思路：(1) 大数定理与中心极限定理的意义.(2) 切比雪夫不等式的定义与意义.(3) 中心极限定理.
