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1、二维形式的柯西不等式（一）(说课)三峡高中 郭和庆尊敬的各位专家、老师们：大家好！今天我说课的题目是二维形式的柯西不等式，内容选自人教A版高中数学选修4-5第三讲第一节，课时安排2课时，本次说课为第一课时。针对今天的讲题，我将从教学设计 、教学反思两大方面加以分析和说明，不当之处，敬请指教！一、教学设计1、 教学内容分析本节课安排在人教A版高中数学选修4-5第三讲第1节。教材在此之前安排了“基本不等式，绝对值不等式”和“证明不等式的基本方法，比较法，综合法”的知识作铺垫。本节课主要让学生认识二维柯西不等式，研究定理的发现，证明，变形， 另一方面，让学生用类比法，构造法等数学方法总结应用柯西不等
2、式解答问题，为今后一般形式的柯西不等式学习奠定基础，因此，本节课具有承前启后的作用. 2、 学情分析和教学目标分析经过高一和高二的学习，学生已经具备了一定的逻辑推理能力，加之学生思维灵活，求知欲强，但柯西不等式比较抽象，可能会因为学生逻辑思维能力比较弱，而给教师的教学带来一定的困难。因此，把学生的学习要求规定为“认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义”。根据上述分析，制定如下目标：（1）知识与技能：通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程的分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；（2）过程与方法：通过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用语
3、言叙述柯西不等式的几种形式，能总结本节课涉及到的数形结合思想，比较法，配方法，类比法，构造法等数学方法，总结应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤；（3）情感、态度与价值观：通过对二维形式柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣, 激发学生大胆创新、勇于探索精神.教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用.教学难点：二维形式柯西不等式的应用.3、 教学问题诊断在本节课之前，虽然学生对二元基本不等式有了比较深刻的认识，学生灵活，但教师怎样比较自然引出二维柯西不等式，如何证明并会应用柯西不等式学生很不适应，需
4、要教学中引导学生通过构造向量的方法理解并记忆柯西不等式的代数形式，并在不断激发学生学习热情中提高应用能力。4、 教学对策分析 本节课作为章节起始课，学习数学和研究数学最困惑的就是如何发现并证明定理，在学习过程中，如果开门见山显得较为空洞无味，加之由于学生对柯西不等式的知识不熟悉，记忆柯西不等式并应用有困难，所以本节课应用多媒体课件辅助教学，从具体问题出发，采用教师引导，学生独立思考，师生互动探究教学，激发学生的思维.5、 教学基本流程问题情景师生探究探索新知巩固练习归纳小结6、 教学过程设计这也是我要阐述的重点。主要从以下六个方面谈 （一）复习旧知（二）通过学生尝试练习引入 （三）阐述定理，理
5、解证明定理（四）深化认识定理（五）分析例题，简单应用 （六）小结，作业 先说：（一）复习旧知1.学生熟悉的科学家：裴波拉契，欧姆，伽利略，韦达定理，笛卡尔， 祖暅原理，秦九韶算法，海伦公式 2.复习二元基本不等式 ：，当且仅当时等号成立.变形：，,当且仅当时等号成立.设计意图：1.引出课题柯西不等式，激发学生学习热情和求知欲；2.为后面解决尝试练习作准备.（二）通过学生尝试练习引入 ： （1）求的最大值；（2）,，为正常数，求的最大值.设计意图：1.通过问题调动学生的求知欲与积极性，教师引导，学生思考，在与学生的互动过程中，逐步提炼小组探究，产生解决问题的方法；2.学生对有了一定的感性认识，自
6、然过渡，使引入柯西不等式顺理成章.（三）阐述定理，理解证明定理 1.定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，当且仅当时等号成立.证明方法1：作差比较设计意图：1.从认知规律看，让学生掌握知识的来龙去脉，提高学生推理论证能力；2.强调证明不等式的基本方法作差法是常规常法，通性通法，不追求变性技巧.探究：结合，能否利用所学知识从形的角度认识？证明方法2：构造向量法阐述几何意义：根据坐标表示得，它们的数量积为，所以，重点分析等号问题：当且仅当是零向量，或存在实数,使时等号成立.定理2：（柯西不等式的向量形式）设为平面上的两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数,使时等号成立.设计意图：1.
7、通过构造向量的方法，定理2借助直观的几何背景对柯西不等式的代数形式进行了最简单的解释，体会数形结合；2. 让学生明确柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示，3.希望同学们通过柯西不等式的向量形式记忆代数形式.（四）深化认识定理不等式结构分析：左边是实数平方和的乘积，右边是实数积的和的平方变形： （1）(当且仅当时等号成立.) (2)(当且仅当时等号成立.) (3)（当且仅当时，等号成立）设计意图：1.从已有认知出发，一方面培养学生的概括与表达能力；2.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式美题欣赏： 即
8、即 即设计意图：让学生感受：1.柯西不等式形式优美，魅力无穷；2.利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件. （五）分析例题，简单应用设是正实数，求证 分析：法1： 解：(当且仅当即 时，等号成立.) 法2：解：,(当且仅当即时，等号成立.) 设计意图：先让学生大胆尝试，教师点评，从而让学生达到两个目的：1.进一步理解柯西不等式左右结构，明确构造的基本方法：凑结构，凑定值；2.规范学生的思维过程，简化繁杂运算，并在此基础上引导学生总结如何凑结构和凑定值；3.通过典例及时反馈.强化柯西不等式应用的基本方法，起到学以致用的效果.然后学生做练习：已知，求最
9、大值.分析：因为即： 所以 当且仅当即时取最大值.时取最小值. 设计意图：1.让学生利用所学知识会解决问题，增强学生学习的自信心；2. 可以使学生体会如何进行必要的式子的变形，使其转化到可以使用二维形式的柯西不等式的形式，虽然这些变形比较简单，但却能说明变形的必要性。教学中引导学生考虑“为什么要这样变形”，使他们认识如此变形的合理性，从而感觉到如此变形是自然而不是不可知的，这样做有利于培养运用适当的变形手段解决问题的能力；3.在理解柯西不等式左右结构， 明确构造的基本方法的基础上，更深层次的理解柯西不等式左右结构，画龙点睛，进一步突破本节课学习的难点.（六）小结，作业 小结：引导学生主要从两个
10、方面对本节进行概括：1.知识：两个定理，定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，当且仅当时等号成立.定理2：（柯西不等式的向量形式）设为平面上的两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数,使时等号成立.2.方法：作差法，构造向量法，数形结合 通过向量形式记忆柯西不等式的代数形式作业：作业：P37页，4，5， 7，8，9设计意图：通过归纳，深化内容，让学生体会柯西不等式蕴含的知识和方法，深层次感受柯西不等式左右结构.既是对整节课课堂教学的回顾，又能对教学效果起到及时反馈的作用.思考题：根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式设计意图：主要是为了培养学生创新精神和实践能力，也为下节课的学习奠定基础.二教学反思：最后是教学后记和板书设计，这是一节定理新授课，也是实践、总结和体验的研究课。通过“分析探究总结”的学习过程，在学生学习新知识的同时，也注意培养学生的创新精神和实践能力。二维形式的柯西不等式（一）定理1：（柯西不等式的代数形式） 例：变形：1. 法1：2. 法2：3. 定理2：（柯西不等式的向量形式）板书设计：以上就是我说课的内容，欢迎各位批评指正，谢谢大家!
