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1、最短路径之Dijkstra算法详细讲解1最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地 区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路 径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找 图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：(1) 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点， 求最短路径的问题。(2) 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问 题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。 在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有 向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点 的问题。(3) 确定起点终
2、点的最短路径问题：即已知起点 和终点，求两结点之间的最短路径。(4) 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做 “最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra 算法、A*算法、Bellman-Ford 算法、 Floyd-Warshall 算法、 Johnson 算法。本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。2 Dijkstra 算法2.1 Dijkstra 算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的 最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra
3、算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效 率低。Dijkstra法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内 容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。2.2 Dijkstra 算法思想Dijkstra算法思想为：设G=（V,E）是一个带权有向图，把图中顶点集合V分 成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用 S 表示，初始时 S 中只有一 个源点，以后每求得一条最短路径，就将加入到集合S中，直到全部顶点都加 入到 S 中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用 U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入 S 中。在加入
4、的 过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中 任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就 是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2.3 Dijkstra算法具体步骤（1）初始时，S只包含源点，即S = , v的距离为0。U包含除v外的其他 顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边 邻接点）。（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中（该选定的距 离就是 v 到 k 的最短路径长度）。（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距
5、离；若从源点v到顶点 u （u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。2.4 Dijkstra算法举例说明如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。 线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶 点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）图一：Dijkstra无向图算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册-日志相册”中，名 为 “Dijkstra 算 法 过 程 ” 的 图 就 是 了 】 错误!步
6、骤S集合中U集合中1选入A,此时S=vA此时最短路径AA=O以A为中间点，从A开始找U=vB、C、D、E、FAB=6， AC=3，A其它U中的顶点=w, 发现AC-3权值为最短2选入C,此时S=vA、C此时最短路径AA=O, AC=3以C为 中间点，从A-C=3这条最短路径开始找U=vB、D、E、FAC- B=5（比上面第 步的AB=6要短） 此时到D权值更改为ACB=5,A-C_D=6,ACE=7,AC其它U中的顶点=w,发现AfCB-5权值为最短3选入B,此时S=vA、C、B此时最短路径AA=0， AC=3，ACB=5以B为中间点从AfCB=5这条最短路径开始找U=vD、E、FACBD=1
7、0（比上面第二步的ACD=6 要长）此时到D权值更改为ACD=6,ACB其它U中的顶点=g,发现ACD-6权值为最短4选入 D,此时 S=vA、C、B、D此时最短路径A- A=0, AC=3,A-C_B=5, A-C_D=6以D为中间点，从A-C-D=6这条最短路径开始找U=vE、 FACDE=8（比上面第_步的A-C-E=7要长）此时到E权值更改为A-C-E=7，A-C-D-F=9发现A-C-E-7权值为最短5选入 E，此时 S=vA、C、B、D、E此时最短路径AA=0， AC=3，A-C_B=5， A-C_D=6， A-C_E=7，以E为中间点，从A-C-E=7这条最短路径开始找U=vFACE-F=12（比上面第四步的A-C-DF=9要长）此时到F权值更改为ACDF=9发现ACDF-9权值为最短6选入 F,此时 S=vA、C、B、D、E、F 此时最短路径AA=0， AC=3， ACB=5,A-C_D=6，A-C-E=7，ACDF=9U集合已空，查找完毕。
